Страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

5.31 a) $9x^2 - 4y^2 = 5;$

б) $x^2 - 9y^2 = 7.$

а) $9x^2 - 4y^2 = 5$

Данное уравнение является уравнением гиперболы. Приведем его к каноническому виду $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. Для этого разделим обе части уравнения на 5:

$\frac{9x^2}{5} - \frac{4y^2}{5} = 1$

Запишем полученное уравнение в стандартном каноническом виде:

$\frac{x^2}{5/9} - \frac{y^2}{5/4} = 1$

Из канонического уравнения находим основные параметры гиперболы:

1. Полуоси гиперболы. Действительная (вещественная) полуось: $a^2 = \frac{5}{9}$, откуда $a = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Мнимая полуось: $b^2 = \frac{5}{4}$, откуда $b = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

2. Вершины гиперболы. Так как действительная ось совпадает с осью $Ox$, вершины находятся в точках $A_1(-a, 0)$ и $A_2(a, 0)$. Координаты вершин: $A_1(-\frac{\sqrt{5}}{3}, 0)$ и $A_2(\frac{\sqrt{5}}{3}, 0)$.

3. Фокусы гиперболы. Расстояние от центра до фокусов $c$ определяется соотношением $c^2 = a^2 + b^2$.

$c^2 = \frac{5}{9} + \frac{5}{4} = \frac{20 + 45}{36} = \frac{65}{36}$.

Отсюда $c = \sqrt{\frac{65}{36}} = \frac{\sqrt{65}}{6}$. Фокусы находятся в точках $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0)$. Координаты фокусов: $F_1(-\frac{\sqrt{65}}{6}, 0)$ и $F_2(\frac{\sqrt{65}}{6}, 0)$.

4. Эксцентриситет. Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле $e = \frac{c}{a}$.

$e = \frac{\sqrt{65}/6}{\sqrt{5}/3} = \frac{\sqrt{65}}{6} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{13 \cdot 5}}{2 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

5. Асимптоты. Уравнения асимптот гиперболы имеют вид $y = \pm \frac{b}{a}x$.

$\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5}/2}{\sqrt{5}/3} = \frac{3}{2}$.

Следовательно, уравнения асимптот: $y = \frac{3}{2}x$ и $y = -\frac{3}{2}x$.

Ответ: Каноническое уравнение: $\frac{x^2}{5/9} - \frac{y^2}{5/4} = 1$; полуоси $a=\frac{\sqrt{5}}{3}$, $b=\frac{\sqrt{5}}{2}$; вершины $(\pm \frac{\sqrt{5}}{3}, 0)$; фокусы $(\pm \frac{\sqrt{65}}{6}, 0)$; эксцентриситет $e=\frac{\sqrt{13}}{2}$; асимптоты $y = \pm \frac{3}{2}x$.

б) $x^2 - 9y^2 = 7$

Данное уравнение также является уравнением гиперболы. Приведем его к каноническому виду $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, разделив обе части на 7:

$\frac{x^2}{7} - \frac{9y^2}{7} = 1$

Запишем полученное уравнение в стандартном каноническом виде:

$\frac{x^2}{7} - \frac{y^2}{7/9} = 1$

Из канонического уравнения находим основные параметры гиперболы:

1. Полуоси гиперболы. Действительная полуось: $a^2 = 7$, откуда $a = \sqrt{7}$. Мнимая полуось: $b^2 = \frac{7}{9}$, откуда $b = \frac{\sqrt{7}}{3}$.

2. Вершины гиперболы. Вершины находятся в точках $A_1(-a, 0)$ и $A_2(a, 0)$. Координаты вершин: $A_1(-\sqrt{7}, 0)$ и $A_2(\sqrt{7}, 0)$.

3. Фокусы гиперболы. Расстояние от центра до фокусов $c$ определяется соотношением $c^2 = a^2 + b^2$.

$c^2 = 7 + \frac{7}{9} = \frac{63 + 7}{9} = \frac{70}{9}$.

Отсюда $c = \sqrt{\frac{70}{9}} = \frac{\sqrt{70}}{3}$. Фокусы находятся в точках $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0)$. Координаты фокусов: $F_1(-\frac{\sqrt{70}}{3}, 0)$ и $F_2(\frac{\sqrt{70}}{3}, 0)$.

4. Эксцентриситет. Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле $e = \frac{c}{a}$.

$e = \frac{\sqrt{70}/3}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{10 \cdot 7}}{3\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{10}}{3}$.

5. Асимптоты. Уравнения асимптот гиперболы имеют вид $y = \pm \frac{b}{a}x$.

$\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{7}/3}{\sqrt{7}} = \frac{1}{3}$.

Следовательно, уравнения асимптот: $y = \frac{1}{3}x$ и $y = -\frac{1}{3}x$.

Ответ: Каноническое уравнение: $\frac{x^2}{7} - \frac{y^2}{7/9} = 1$; полуоси $a=\sqrt{7}$, $b=\frac{\sqrt{7}}{3}$; вершины $(\pm \sqrt{7}, 0)$; фокусы $(\pm \frac{\sqrt{70}}{3}, 0)$; эксцентриситет $e=\frac{\sqrt{10}}{3}$; асимптоты $y = \pm \frac{1}{3}x$.

5.32 a) $xy = 2x + y;$

б) $2x^2 + xy - y^2 = 5.$

а) $xy = 2x + y$

Данное уравнение является диофантовым уравнением, которое нужно решить в целых числах. Для этого выразим одну переменную через другую. Перенесем все члены с $y$ в левую часть:

$xy - y = 2x$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(x - 1) = 2x$

Если $x \neq 1$, то можно разделить обе части уравнения на $(x-1)$:

$y = \frac{2x}{x-1}$

Чтобы $y$ был целым числом, необходимо, чтобы дробь была сократима до целого числа. Выделим целую часть дроби:

$y = \frac{2(x-1) + 2}{x-1} = \frac{2(x-1)}{x-1} + \frac{2}{x-1} = 2 + \frac{2}{x-1}$

Из полученного выражения видно, что $y$ будет целым числом только тогда, когда выражение $\frac{2}{x-1}$ является целым числом. Это возможно, если знаменатель $(x-1)$ является делителем числителя 2.

Целочисленные делители числа 2: $1, -1, 2, -2$.

Рассмотрим все возможные случаи для значения $(x-1)$:

1) $x - 1 = 1 \implies x = 2$. Тогда $y = 2 + \frac{2}{1} = 4$. Получаем пару $(2, 4)$.

2) $x - 1 = -1 \implies x = 0$. Тогда $y = 2 + \frac{2}{-1} = 0$. Получаем пару $(0, 0)$.

3) $x - 1 = 2 \implies x = 3$. Тогда $y = 2 + \frac{2}{2} = 3$. Получаем пару $(3, 3)$.

4) $x - 1 = -2 \implies x = -1$. Тогда $y = 2 + \frac{2}{-2} = 1$. Получаем пару $(-1, 1)$.

Мы рассмотрели все случаи, когда $x \neq 1$. Если подставить $x=1$ в исходное уравнение, получим $y = 2+y$, что приводит к неверному равенству $0=2$. Следовательно, других решений нет.

Ответ: $(2, 4)$, $(0, 0)$, $(3, 3)$, $(-1, 1)$.

б) $2x^2 + xy - y^2 = 5$

Левую часть этого уравнения можно разложить на множители. Рассмотрим ее как квадратный трехчлен:

$2x^2 + xy - y^2 = 2x^2 + 2xy - xy - y^2 = 2x(x+y) - y(x+y) = (2x-y)(x+y)$

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$(2x - y)(x + y) = 5$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, то выражения в скобках $(2x - y)$ и $(x + y)$ также должны быть целыми числами. Их произведение равно 5, следовательно, они являются парами целочисленных делителей числа 5.

Возможные пары делителей числа 5: $(1, 5)$, $(5, 1)$, $(-1, -5)$ и $(-5, -1)$.

Рассмотрим каждую пару как систему линейных уравнений:

1) $\begin{cases} 2x - y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases}$
Сложим два уравнения: $(2x - y) + (x + y) = 1 + 5 \implies 3x = 6 \implies x = 2$.
Подставив $x = 2$ во второе уравнение, получим: $2 + y = 5 \implies y = 3$.
Решение: $(2, 3)$.

2) $\begin{cases} 2x - y = 5 \\ x + y = 1 \end{cases}$
Сложим уравнения: $3x = 6 \implies x = 2$.
Подставим $x = 2$ во второе уравнение: $2 + y = 1 \implies y = -1$.
Решение: $(2, -1)$.

3) $\begin{cases} 2x - y = -1 \\ x + y = -5 \end{cases}$
Сложим уравнения: $3x = -6 \implies x = -2$.
Подставим $x = -2$ во второе уравнение: $-2 + y = -5 \implies y = -3$.
Решение: $(-2, -3)$.

4) $\begin{cases} 2x - y = -5 \\ x + y = -1 \end{cases}$
Сложим уравнения: $3x = -6 \implies x = -2$.
Подставим $x = -2$ во второе уравнение: $-2 + y = -1 \implies y = 1$.
Решение: $(-2, 1)$.

Ответ: $(2, 3)$, $(2, -1)$, $(-2, -3)$, $(-2, 1)$.

5.33 Найдите двузначное число, которое в 6 раз больше суммы своих цифр.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ – это цифра десятков, а $b$ – цифра единиц. По определению двузначного числа, $a$ является целым числом от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ – целым числом от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Сумма цифр этого числа равна $a + b$.

По условию задачи, число в 6 раз больше суммы своих цифр. Это можно записать в виде уравнения:

$10a + b = 6 \cdot (a + b)$

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в правой части:

$10a + b = 6a + 6b$

Теперь сгруппируем переменные: перенесем члены с $a$ в левую часть уравнения, а члены с $b$ – в правую.

$10a - 6a = 6b - b$

$4a = 5b$

Мы получили уравнение, связывающее цифры $a$ и $b$. Поскольку числа 4 и 5 являются взаимно простыми, из равенства $4a = 5b$ следует, что $a$ должно быть кратно 5, а $b$ должно быть кратно 4.

Учитывая, что $a$ – это цифра десятков (от 1 до 9), единственное возможное значение для $a$, которое кратно 5, это $a = 5$.

Подставим найденное значение $a = 5$ в уравнение $4a = 5b$, чтобы найти $b$:

$4 \cdot 5 = 5b$

$20 = 5b$

$b = \frac{20}{5} = 4$

Полученное значение $b = 4$ удовлетворяет условию, так как $b$ – это цифра единиц (от 0 до 9).

Таким образом, искомое число состоит из цифры десятков $a = 5$ и цифры единиц $b = 4$. Это число – 54.

Выполним проверку:
Сумма цифр числа 54: $5 + 4 = 9$.
Число, которое в 6 раз больше суммы цифр: $6 \cdot 9 = 54$.
Результат совпадает с самим числом, следовательно, решение верно.

Ответ: 54.

Решите графически систему уравнений:

5.34 a) $\begin{cases}y - x^2 = 0, \\y = \sqrt{x};\end{cases}$

б) $\begin{cases}x^2 + y^2 = 4, \\y = 0.5x^2 + 2;\end{cases}$

в) $\begin{cases}(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 9, \\y + 1 = x;\end{cases}$

г) $\begin{cases}(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 16, \\x + y = 1.\end{cases}$

а)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y - x^2 = 0 \\ y = \sqrt{x} \end{cases} $

Для графического решения построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

1. Первое уравнение можно переписать в виде $y = x^2$. Графиком этого уравнения является парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх.

2. Графиком второго уравнения $y = \sqrt{x}$ является верхняя ветвь параболы, ось симметрии которой — ось Ox, с вершиной в точке (0, 0). Область определения этой функции $x \ge 0$, поэтому график расположен в I координатной четверти.

Построив оба графика, мы ищем их точки пересечения. Визуально можно определить две точки пересечения.

Первая точка очевидна — это начало координат (0, 0). Подставим её координаты в оба уравнения:
Для $y = x^2$: $0 = 0^2$ (верно).
Для $y = \sqrt{x}$: $0 = \sqrt{0}$ (верно).

Вторая точка пересечения — (1, 1). Подставим её координаты:
Для $y = x^2$: $1 = 1^2$ (верно).
Для $y = \sqrt{x}$: $1 = \sqrt{1}$ (верно).

Таким образом, графики пересекаются в двух точках, которые и являются решениями системы.

Ответ: (0, 0), (1, 1).

б)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = 0,5x^2 + 2 \end{cases} $

1. Первое уравнение $x^2 + y^2 = 4$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

2. Второе уравнение $y = 0,5x^2 + 2$ — это уравнение параболы с вершиной в точке (0, 2) и ветвями, направленными вверх.

Построим графики в одной системе координат. Окружность с центром в (0, 0) и радиусом 2 проходит через точки (2, 0), (-2, 0), (0, 2) и (0, -2). Парабола имеет свою вершину в точке (0, 2).

Заметим, что вершина параболы (0, 2) является самой верхней точкой окружности. Поскольку ветви параболы направлены вверх, все остальные её точки лежат выше $y=2$. Все остальные точки окружности лежат ниже $y=2$. Следовательно, графики имеют только одну общую точку — точку касания.

Эта точка — (0, 2).

Ответ: (0, 2).

в)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 9 \\ y + 1 = x \end{cases} $

1. Первое уравнение $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 9$ — это уравнение окружности. Центр окружности находится в точке (-1, 1), а её радиус $r = \sqrt{9} = 3$.

2. Второе уравнение $y + 1 = x$ можно переписать как $y = x - 1$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом 1 и пересекающей ось OY в точке (0, -1).

Построим окружность и прямую в одной системе координат. Прямая пересекает окружность в двух точках. Чтобы найти их точные координаты, можно определить несколько точек на прямой и проверить, лежат ли они на окружности.

Возьмем точку на прямой при $x = 2$, тогда $y = 2 - 1 = 1$. Получили точку (2, 1). Проверим, лежит ли она на окружности: $(2 + 1)^2 + (1 - 1)^2 = 3^2 + 0^2 = 9$. Верно. Значит, (2, 1) — первая точка пересечения.

Возьмем точку на прямой при $x = -1$, тогда $y = -1 - 1 = -2$. Получили точку (-1, -2). Проверим, лежит ли она на окружности: $(-1 + 1)^2 + (-2 - 1)^2 = 0^2 + (-3)^2 = 9$. Верно. Значит, (-1, -2) — вторая точка пересечения.

Таким образом, решениями системы являются координаты этих двух точек.

Ответ: (2, 1), (-1, -2).

г)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} (x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 16 \\ x + y = 1 \end{cases} $

1. Первое уравнение $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 16$ — это уравнение окружности с центром в точке (1, -4) и радиусом $r = \sqrt{16} = 4$.

2. Второе уравнение $x + y = 1$ можно переписать как $y = 1 - x$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом -1, пересекающей оси координат в точках (1, 0) и (0, 1).

Построим окружность и прямую. Окружность с центром (1, -4) и радиусом 4 проходит, например, через точки $(1+4, -4) = (5, -4)$ и $(1, -4+4)=(1, 0)$. Прямая $y=1-x$ проходит через точку (1,0).

Таким образом, мы сразу видим одну из точек пересечения — (1, 0). Проверим её для обоих уравнений:
Для окружности: $(1 - 1)^2 + (0 + 4)^2 = 0^2 + 4^2 = 16$. Верно.
Для прямой: $1 + 0 = 1$. Верно.

Из графика видно, что есть и вторая точка пересечения. Найдем ее. Из графика видно, что прямая также проходит через точку (5, -4). Проверим ее:
Для окружности: $(5 - 1)^2 + (-4 + 4)^2 = 4^2 + 0^2 = 16$. Верно.
Для прямой: $5 + (-4) = 1$. Верно.

Следовательно, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: (1, 0), (5, -4).

5.35 a) $ \begin{cases} y = |x|, \\ x^2 + y = 2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = |x| - 1; \end{cases} $

В) $ \begin{cases} x^2 - y = 3 - 2x, \\ y = |x + 1| - 4; \end{cases} $

Г) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = |x| - 3. \end{cases} $

a)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = |x|, \\ x^2 + y = 2; \end{cases}$

Подставим выражение для y из первого уравнения во второе:

$x^2 + |x| = 2$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде:

$|x|^2 + |x| - 2 = 0$

Сделаем замену переменной $t = |x|$. Так как модуль не может быть отрицательным, $t \ge 0$.

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:

$t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к исходной переменной:

$|x| = t_1 = 1$

Это уравнение дает два решения для x:

$x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения y, используя уравнение $y = |x|$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = |1| = 1$.

При $x_2 = -1$, $y_2 = |-1| = 1$.

Таким образом, решения системы: $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

Ответ: $(1, 1), (-1, 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = |x| - 1; \end{cases}$

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

$x^2 + (|x| - 1)^2 = 1$

Раскроем скобки и учтем, что $x^2 = |x|^2$:

$|x|^2 + (|x|^2 - 2|x| + 1) = 1$

$2|x|^2 - 2|x| + 1 = 1$

$2|x|^2 - 2|x| = 0$

Вынесем общий множитель $2|x|$ за скобки:

$2|x|(|x| - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $2|x| = 0 \implies |x| = 0 \implies x = 0$.

Найдем y: $y = |0| - 1 = -1$. Получаем решение $(0, -1)$.

2) $|x| - 1 = 0 \implies |x| = 1$.

Отсюда $x = 1$ или $x = -1$.

Если $x = 1$, то $y = |1| - 1 = 0$. Получаем решение $(1, 0)$.

Если $x = -1$, то $y = |-1| - 1 = 0$. Получаем решение $(-1, 0)$.

Таким образом, система имеет три решения.

Ответ: $(0, -1), (1, 0), (-1, 0)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y = 3 - 2x, \\ y = |x + 1| - 4; \end{cases}$

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

$x^2 - (|x + 1| - 4) = 3 - 2x$

$x^2 - |x + 1| + 4 = 3 - 2x$

Перенесем все члены, кроме модуля, в левую часть, чтобы выделить полный квадрат:

$x^2 + 2x + 4 - 3 = |x + 1|$

$x^2 + 2x + 1 = |x + 1|$

Левая часть представляет собой полный квадрат $(x+1)^2$:

$(x + 1)^2 = |x + 1|$

Так как для любого числа $a$ верно $a^2 = |a|^2$, то заменим $(x + 1)^2$ на $|x + 1|^2$:

$|x + 1|^2 = |x + 1|$

$|x + 1|^2 - |x + 1| = 0$

Вынесем $|x + 1|$ за скобки:

$|x + 1|(|x + 1| - 1) = 0$

Рассмотрим два случая:

1) $|x + 1| = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Найдем y: $y = |-1 + 1| - 4 = 0 - 4 = -4$. Получаем решение $(-1, -4)$.

2) $|x + 1| - 1 = 0 \implies |x + 1| = 1$.

Это уравнение распадается на два:

a) $x + 1 = 1 \implies x = 0$. Найдем y: $y = |0 + 1| - 4 = 1 - 4 = -3$. Получаем решение $(0, -3)$.

б) $x + 1 = -1 \implies x = -2$. Найдем y: $y = |-2 + 1| - 4 = |-1| - 4 = 1 - 4 = -3$. Получаем решение $(-2, -3)$.

Таким образом, система имеет три решения.

Ответ: $(-1, -4), (0, -3), (-2, -3)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = |x| - 3; \end{cases}$

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

$x^2 + (|x| - 3)^2 = 9$

Раскроем скобки и учтем, что $x^2 = |x|^2$:

$|x|^2 + (|x|^2 - 6|x| + 9) = 9$

$2|x|^2 - 6|x| + 9 = 9$

$2|x|^2 - 6|x| = 0$

Вынесем общий множитель $2|x|$ за скобки:

$2|x|(|x| - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $2|x| = 0 \implies |x| = 0 \implies x = 0$.

Найдем y: $y = |0| - 3 = -3$. Получаем решение $(0, -3)$.

2) $|x| - 3 = 0 \implies |x| = 3$.

Отсюда $x = 3$ или $x = -3$.

Если $x = 3$, то $y = |3| - 3 = 0$. Получаем решение $(3, 0)$.

Если $x = -3$, то $y = |-3| - 3 = 0$. Получаем решение $(-3, 0)$.

Таким образом, система имеет три решения.

Ответ: $(0, -3), (3, 0), (-3, 0)$.

5.36 При каком значении параметра p пара чисел $(1; -2)$ является решением системы уравнений:

а) $\begin{cases} p^2 x + y = 2, \\ x^2 + y^2 = p + 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} p^2 x + 2py = 5, \\ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2p + 3? \end{cases}$

а) Чтобы пара чисел $(1; -2)$ была решением системы, она должна удовлетворять каждому уравнению. Подставим $x=1$ и $y=-2$ в данную систему уравнений:

$\begin{cases} p^2x + y = 2, \\ x^2 + y^2 = p + 3; \end{cases} \implies \begin{cases} p^2 \cdot 1 + (-2) = 2, \\ 1^2 + (-2)^2 = p + 3; \end{cases}$

Получим систему для нахождения $p$:

$\begin{cases} p^2 - 2 = 2, \\ 1 + 4 = p + 3; \end{cases} \implies \begin{cases} p^2 = 4, \\ 5 = p + 3; \end{cases}$

Из первого уравнения $p^2=4$, следовательно, $p=2$ или $p=-2$.
Из второго уравнения $p = 5 - 3$, следовательно, $p=2$.

Значение $p$ должно быть общим для обоих уравнений, поэтому выбираем $p=2$.

Ответ: $p=2$.

б) Аналогично, подставим $x=1$ и $y=-2$ в данную систему уравнений:

$\begin{cases} p^2x + 2py = 5, \\ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2p + 3; \end{cases} \implies \begin{cases} p^2 \cdot 1 + 2p(-2) = 5, \\ (1 + 1)^2 + (-2 - 1)^2 = 2p + 3; \end{cases}$

Упростим полученные уравнения:

$\begin{cases} p^2 - 4p = 5, \\ 2^2 + (-3)^2 = 2p + 3; \end{cases} \implies \begin{cases} p^2 - 4p - 5 = 0, \\ 4 + 9 = 2p + 3; \end{cases} \implies \begin{cases} p^2 - 4p - 5 = 0, \\ 13 = 2p + 3; \end{cases}$

Решим первое уравнение $p^2 - 4p - 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно -5. Следовательно, корни $p_1=5$ и $p_2=-1$.

Решим второе уравнение: $13 = 2p + 3$, что дает $2p=10$, и, следовательно, $p=5$.

Значение $p$ должно быть общим для обоих уравнений, поэтому выбираем $p=5$.

Ответ: $p=5$.

5.37 При каком значении параметра $p$ система уравнений имеет одно решение:

а) $ \begin{cases} y - x^2 = 4, \\ y + px = 4; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} y - px + 3 = 0, \\ y = (x - 1)^2 - 3? \end{cases} $

а)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y - x^2 = 4, \\ y + px = 4. \end{cases} $ Для решения системы выразим $y$ из обоих уравнений: $ \begin{cases} y = x^2 + 4, \\ y = 4 - px. \end{cases} $ Первое уравнение задает параболу, второе — прямую. Система имеет одно решение, когда графики этих функций имеют одну общую точку (касаются или пересекаются в одной точке).

Приравняем правые части уравнений: $x^2 + 4 = 4 - px$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$: $x^2 + px = 0$

Система имеет одно решение тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет единственный корень. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ уравнения равен нулю.

Для уравнения $x^2 + px + 0 = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=p$, $c=0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = p^2$

Приравняем дискриминант к нулю: $p^2 = 0$ $p = 0$

При $p=0$ система имеет одно решение.

Ответ: $p=0$.

б)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y - px + 3 = 0, \\ y = (x - 1)^2 - 3. \end{cases} $ Выразим $y$ из первого уравнения: $y = px - 3$.

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы: $px - 3 = (x - 1)^2 - 3$

Упростим уравнение, прибавив 3 к обеим частям и раскрыв скобки в правой части: $px = x^2 - 2x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$: $x^2 - 2x - px + 1 = 0$ $x^2 - (p + 2)x + 1 = 0$

Система будет иметь единственное решение, если полученное квадратное уравнение имеет ровно один корень. Это происходит, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

Для уравнения $x^2 - (p + 2)x + 1 = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=-(p+2)$, $c=1$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-(p+2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = (p+2)^2 - 4$

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $p$: $(p+2)^2 - 4 = 0$ $(p+2)^2 = 4$

Извлекая квадратный корень, получаем два возможных варианта: $p+2 = 2$ или $p+2 = -2$

Находим значения $p$: $p_1 = 2 - 2 = 0$ $p_2 = -2 - 2 = -4$

Следовательно, система имеет одно решение при двух значениях параметра $p$.

Ответ: $p=0$ или $p=-4$.

5.38 При каком значении параметра $p$ система уравнений

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y - x^2 = p \end{cases}$ имеет:

а) три решения;

б) одно решение?

Рассмотрим данную систему уравнений. Первое уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=2$. Второе уравнение $y - x^2 = p$ можно переписать в виде $y = x^2 + p$. Это уравнение задает семейство парабол с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, p)$. Параметр $p$ определяет вертикальное положение параболы. Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков этих двух функций: окружности и параболы.

Для решения системы аналитически, выразим $x^2$ из второго уравнения и подставим в первое. Из $y - x^2 = p$ следует $x^2 = y - p$. Подставляем в первое уравнение: $(y - p) + y^2 = 4$ $y^2 + y - (p + 4) = 0$ Это квадратное уравнение относительно $y$. Каждому действительному решению $y_0$ этого уравнения соответствуют значения $x$, которые находятся из уравнения $x^2 = y_0 - p$. Реальные решения для $x$ существуют только при условии $y_0 - p \ge 0$.

Число решений системы зависит от числа действительных корней $y$ и от выполнения условия $y - p \ge 0$. Проанализируем количество решений с помощью геометрической интерпретации.

Система будет иметь три решения в том случае, когда парабола касается окружности в одной точке, а также пересекает ее в двух других точках. Такая ситуация возникает, когда вершина параболы касается окружности в ее нижней точке.

Нижняя точка окружности $x^2 + y^2 = 4$ имеет координаты $(0, -2)$. Вершина параболы $y = x^2 + p$ находится в точке $(0, p)$. Для касания в этой точке необходимо, чтобы их координаты совпали, то есть $p = -2$.

Проверим, сколько решений имеет система при $p = -2$. Система уравнений принимает вид: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y - x^2 = -2 \end{cases}$

Из второго уравнения $x^2 = y + 2$. Подставим в первое: $(y + 2) + y^2 = 4$ $y^2 + y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти, например, по теореме Виета: $y_1 = 1$, $y_2 = -2$. Теперь найдем соответствующие значения $x$:
1. Если $y = 1$, то $x^2 = 1 + 2 = 3$. Отсюда $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$. Получаем два решения: $(\sqrt{3}, 1)$ и $(-\sqrt{3}, 1)$.
2. Если $y = -2$, то $x^2 = -2 + 2 = 0$. Отсюда $x = 0$. Получаем одно решение: $(0, -2)$.

Таким образом, при $p = -2$ система имеет ровно три решения.

Ответ: $p = -2$.

Система будет иметь одно решение в случае, когда парабола касается окружности ровно в одной точке и не имеет других общих точек. Такой случай реализуется, когда вершина параболы $(0, p)$ касается окружности в ее верхней точке $(0, 2)$. Это означает, что $p=2$.

Проверим это значение. При $p=2$ система имеет вид: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y - x^2 = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения $x^2 = y - 2$. Подставим в первое: $(y - 2) + y^2 = 4$ $y^2 + y - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни: $y_1 = 2$, $y_2 = -3$. Теперь найдем соответствующие значения $x$:
1. Если $y = 2$, то $x^2 = 2 - 2 = 0$. Отсюда $x = 0$. Получаем одно решение: $(0, 2)$.
2. Если $y = -3$, то $x^2 = -3 - 2 = -5$. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, решений для $x$ в этом случае нет.

Следовательно, при $p = 2$ система имеет ровно одно решение.

Ответ: $p = 2$.