Номер 5.32, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.32 a) $xy = 2x + y;$

б) $2x^2 + xy - y^2 = 5.$

а) $xy = 2x + y$

Данное уравнение является диофантовым уравнением, которое нужно решить в целых числах. Для этого выразим одну переменную через другую. Перенесем все члены с $y$ в левую часть:

$xy - y = 2x$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(x - 1) = 2x$

Если $x \neq 1$, то можно разделить обе части уравнения на $(x-1)$:

$y = \frac{2x}{x-1}$

Чтобы $y$ был целым числом, необходимо, чтобы дробь была сократима до целого числа. Выделим целую часть дроби:

$y = \frac{2(x-1) + 2}{x-1} = \frac{2(x-1)}{x-1} + \frac{2}{x-1} = 2 + \frac{2}{x-1}$

Из полученного выражения видно, что $y$ будет целым числом только тогда, когда выражение $\frac{2}{x-1}$ является целым числом. Это возможно, если знаменатель $(x-1)$ является делителем числителя 2.

Целочисленные делители числа 2: $1, -1, 2, -2$.

Рассмотрим все возможные случаи для значения $(x-1)$:

1) $x - 1 = 1 \implies x = 2$. Тогда $y = 2 + \frac{2}{1} = 4$. Получаем пару $(2, 4)$.

2) $x - 1 = -1 \implies x = 0$. Тогда $y = 2 + \frac{2}{-1} = 0$. Получаем пару $(0, 0)$.

3) $x - 1 = 2 \implies x = 3$. Тогда $y = 2 + \frac{2}{2} = 3$. Получаем пару $(3, 3)$.

4) $x - 1 = -2 \implies x = -1$. Тогда $y = 2 + \frac{2}{-2} = 1$. Получаем пару $(-1, 1)$.

Мы рассмотрели все случаи, когда $x \neq 1$. Если подставить $x=1$ в исходное уравнение, получим $y = 2+y$, что приводит к неверному равенству $0=2$. Следовательно, других решений нет.

Ответ: $(2, 4)$, $(0, 0)$, $(3, 3)$, $(-1, 1)$.

б) $2x^2 + xy - y^2 = 5$

Левую часть этого уравнения можно разложить на множители. Рассмотрим ее как квадратный трехчлен:

$2x^2 + xy - y^2 = 2x^2 + 2xy - xy - y^2 = 2x(x+y) - y(x+y) = (2x-y)(x+y)$

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$(2x - y)(x + y) = 5$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, то выражения в скобках $(2x - y)$ и $(x + y)$ также должны быть целыми числами. Их произведение равно 5, следовательно, они являются парами целочисленных делителей числа 5.

Возможные пары делителей числа 5: $(1, 5)$, $(5, 1)$, $(-1, -5)$ и $(-5, -1)$.

Рассмотрим каждую пару как систему линейных уравнений:

1) $\begin{cases} 2x - y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases}$
Сложим два уравнения: $(2x - y) + (x + y) = 1 + 5 \implies 3x = 6 \implies x = 2$.
Подставив $x = 2$ во второе уравнение, получим: $2 + y = 5 \implies y = 3$.
Решение: $(2, 3)$.

2) $\begin{cases} 2x - y = 5 \\ x + y = 1 \end{cases}$
Сложим уравнения: $3x = 6 \implies x = 2$.
Подставим $x = 2$ во второе уравнение: $2 + y = 1 \implies y = -1$.
Решение: $(2, -1)$.

3) $\begin{cases} 2x - y = -1 \\ x + y = -5 \end{cases}$
Сложим уравнения: $3x = -6 \implies x = -2$.
Подставим $x = -2$ во второе уравнение: $-2 + y = -5 \implies y = -3$.
Решение: $(-2, -3)$.

4) $\begin{cases} 2x - y = -5 \\ x + y = -1 \end{cases}$
Сложим уравнения: $3x = -6 \implies x = -2$.
Подставим $x = -2$ во второе уравнение: $-2 + y = -1 \implies y = 1$.
Решение: $(-2, 1)$.

Ответ: $(2, 3)$, $(2, -1)$, $(-2, -3)$, $(-2, 1)$.