Номер 5.39, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.39 Решите графически систему неравенств:

а) $\begin{cases}x^2 + y < 0; \\y - 2x > 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}y - \sqrt{x} \ge 0, \\x - 2y \ge 0.\end{cases}$

a)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + y < 0 \\ y - 2x > 0 \end{cases} $.

Для графического решения преобразуем неравенства, выразив $y$ через $x$:

$ \begin{cases} y < -x^2 \\ y > 2x \end{cases} $

Решением системы является пересечение множеств точек на координатной плоскости, удовлетворяющих каждому из этих неравенств.

1. Первое неравенство $y < -x^2$ задает область, расположенную ниже параболы $y = -x^2$. Это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Поскольку неравенство строгое (<), сама парабола не является частью решения и на графике изображается пунктирной линией.

2. Второе неравенство $y > 2x$ задает полуплоскость, расположенную выше прямой $y = 2x$. Эта прямая проходит через начало координат $(0, 0)$ и точку $(1, 2)$. Поскольку неравенство строгое ($>$), сама прямая не является частью решения и также изображается пунктирной линией.

Искомое решение — это область, где выполняются оба условия, то есть область, которая находится одновременно ниже параболы и выше прямой. Чтобы определить границы этой области, найдем точки пересечения графиков функций $y = -x^2$ и $y = 2x$:

$-x^2 = 2x$

$x^2 + 2x = 0$

$x(x + 2) = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2 \cdot (-2) = -4$. Точка пересечения — $(-2, -4)$.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках. Решением системы является открытая область, ограниченная снизу отрезком прямой $y=2x$ между точками $(-2, -4)$ и $(0, 0)$ и сверху дугой параболы $y=-x^2$ между этими же точками.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих условиям $2x < y < -x^2$. Эта область заключена между прямой $y = 2x$ и параболой $y = -x^2$ на интервале $x \in (-2, 0)$. Границы области не включаются в решение.

б)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y - \sqrt{x} \ge 0 \\ x - 2y \ge 0 \end{cases} $.

Область допустимых значений для этой системы определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Преобразуем неравенства, выразив $y$:

$ \begin{cases} y \ge \sqrt{x} \\ 2y \le x \end{cases} \implies \begin{cases} y \ge \sqrt{x} \\ y \le \frac{1}{2}x \end{cases} $

Решение системы — это пересечение областей, удовлетворяющих каждому неравенству, при условии $x \ge 0$.

1. Неравенство $y \ge \sqrt{x}$ задает область на и выше графика функции $y = \sqrt{x}$ (верхняя ветвь параболы, открывающейся вправо). Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), сама кривая включается в решение и изображается сплошной линией.

2. Неравенство $y \le \frac{1}{2}x$ задает область на и ниже прямой $y = \frac{1}{2}x$. Прямая проходит через начало координат. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), прямая также включается в решение и изображается сплошной линией.

Решение системы — это множество точек $(x,y)$, для которых одновременно выполняются условия $\sqrt{x} \le y \le \frac{1}{2}x$. Такое $y$ может существовать только при условии $\sqrt{x} \le \frac{1}{2}x$.

Найдем точки пересечения границ $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{2}x$:

$\sqrt{x} = \frac{1}{2}x$

Возведем обе части в квадрат: $x = \frac{x^2}{4}$, что равносильно $x^2 - 4x = 0$, или $x(x-4) = 0$.

Точки пересечения при $x_1 = 0$ (дает $y_1=0$) и $x_2 = 4$ (дает $y_2=2$). Точки — $(0, 0)$ и $(4, 2)$.

Проанализируем неравенство $\sqrt{x} \le \frac{1}{2}x$:

• В точках пересечения $x=0$ и $x=4$ выполняется равенство $\sqrt{x} = \frac{1}{2}x$. Условие $\sqrt{x} \le y \le \frac{1}{2}x$ превращается в $y=0$ (для $x=0$) и $y=2$ (для $x=4$). Таким образом, точки $(0,0)$ и $(4,2)$ являются решениями.
• На интервале $(0, 4)$ график функции $y=\sqrt{x}$ лежит выше прямой $y=\frac{1}{2}x$, то есть $\sqrt{x} > \frac{1}{2}x$. В этом интервале условие $\sqrt{x} \le \frac{1}{2}x$ не выполняется, поэтому решений нет.
• При $x > 4$ график функции $y=\sqrt{x}$ лежит ниже прямой $y=\frac{1}{2}x$, то есть $\sqrt{x} < \frac{1}{2}x$. Здесь условие $\sqrt{x} \le y \le \frac{1}{2}x$ задает непустое множество значений $y$ для каждого $x$.

Следовательно, множество решений состоит из изолированной точки $(0, 0)$ и области, начинающейся от точки $(4, 2)$ и простирающейся вправо, ограниченной снизу кривой $y=\sqrt{x}$ и сверху прямой $y=\frac{1}{2}x$.

Ответ: Множество решений состоит из изолированной точки $(0, 0)$ и всех точек $(x, y)$, удовлетворяющих неравенствам $\sqrt{x} \le y \le \frac{1}{2}x$ для $x \ge 4$. Эта область ограничена снизу графиком $y = \sqrt{x}$ и сверху графиком $y = \frac{1}{2}x$, включая границы, начиная с точки их пересечения $(4, 2)$.