Номер 6.4, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6.4 a) $\begin{cases} x^2 + xy - y^2 = 11, \\ x - 2y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy + y^2 + x - 3y = 15, \\ x + y = 5; \end{cases}$

B) $\begin{cases} x^2 + xy - x - y = 2, \\ x - y = 2; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1, \\ x + 2y = 0. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + xy - y^2 = 11, \\ x - 2y = 1; \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $x$ через $y$: $x = 1 + 2y$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $(1 + 2y)^2 + (1 + 2y)y - y^2 = 11$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $(1 + 4y + 4y^2) + (y + 2y^2) - y^2 = 11$ $1 + 4y + 4y^2 + y + 2y^2 - y^2 = 11$ $5y^2 + 5y + 1 = 11$ $5y^2 + 5y - 10 = 0$.

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы упростить его: $y^2 + y - 2 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Корни можно найти, например, по теореме Виета: $y_1 + y_2 = -1$ и $y_1 \cdot y_2 = -2$. Отсюда $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = 1 + 2y$.
При $y_1 = 1$, получаем $x_1 = 1 + 2(1) = 3$.
При $y_2 = -2$, получаем $x_2 = 1 + 2(-2) = 1 - 4 = -3$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(3; 1)$, $(-3; -2)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} xy + y^2 + x - 3y = 15, \\ x + y = 5; \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $x$ через $y$: $x = 5 - y$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $(5 - y)y + y^2 + (5 - y) - 3y = 15$.

Раскроем скобки и упростим: $5y - y^2 + y^2 + 5 - y - 3y = 15$ $(5y - y - 3y) + (-y^2 + y^2) + 5 = 15$ $y + 5 = 15$.

Отсюда находим значение $y$: $y = 15 - 5 = 10$.

Теперь найдем соответствующее значение $x$, используя формулу $x = 5 - y$: $x = 5 - 10 = -5$.

Таким образом, решением системы является одна пара чисел.

Ответ: $(-5; 10)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + xy - x - y = 2, \\ x - y = 2; \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $x$ через $y$: $x = 2 + y$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $(2 + y)^2 + (2 + y)y - (2 + y) - y = 2$.

Раскроем скобки и упростим выражение: $(4 + 4y + y^2) + (2y + y^2) - 2 - y - y = 2$ $4 + 4y + y^2 + 2y + y^2 - 2 - 2y = 2$ $2y^2 + 4y + 2 = 2$ $2y^2 + 4y = 0$.

Разделим обе части на 2: $y^2 + 2y = 0$.

Вынесем $y$ за скобки: $y(y + 2) = 0$.

Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 0$ или $y_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя $x = 2 + y$:
При $y_1 = 0$, получаем $x_1 = 2 + 0 = 2$.
При $y_2 = -2$, получаем $x_2 = 2 + (-2) = 0$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(2; 0)$, $(0; -2)$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1, \\ x + 2y = 0; \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $x$ через $y$: $x = -2y$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $(-2y)^2 + y^2 + 3(-2y)y = -1$.

Упростим полученное уравнение: $4y^2 + y^2 - 6y^2 = -1$ $-y^2 = -1$ $y^2 = 1$.

Отсюда получаем два значения для $y$: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя $x = -2y$:
При $y_1 = 1$, получаем $x_1 = -2(1) = -2$.
При $y_2 = -1$, получаем $x_2 = -2(-1) = 2$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(-2; 1)$, $(2; -1)$.