Номер 5.38, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.38 При каком значении параметра $p$ система уравнений

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y - x^2 = p \end{cases}$ имеет:

а) три решения;

б) одно решение?

Рассмотрим данную систему уравнений. Первое уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=2$. Второе уравнение $y - x^2 = p$ можно переписать в виде $y = x^2 + p$. Это уравнение задает семейство парабол с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, p)$. Параметр $p$ определяет вертикальное положение параболы. Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков этих двух функций: окружности и параболы.

Для решения системы аналитически, выразим $x^2$ из второго уравнения и подставим в первое. Из $y - x^2 = p$ следует $x^2 = y - p$. Подставляем в первое уравнение: $(y - p) + y^2 = 4$ $y^2 + y - (p + 4) = 0$ Это квадратное уравнение относительно $y$. Каждому действительному решению $y_0$ этого уравнения соответствуют значения $x$, которые находятся из уравнения $x^2 = y_0 - p$. Реальные решения для $x$ существуют только при условии $y_0 - p \ge 0$.

Число решений системы зависит от числа действительных корней $y$ и от выполнения условия $y - p \ge 0$. Проанализируем количество решений с помощью геометрической интерпретации.

Система будет иметь три решения в том случае, когда парабола касается окружности в одной точке, а также пересекает ее в двух других точках. Такая ситуация возникает, когда вершина параболы касается окружности в ее нижней точке.

Нижняя точка окружности $x^2 + y^2 = 4$ имеет координаты $(0, -2)$. Вершина параболы $y = x^2 + p$ находится в точке $(0, p)$. Для касания в этой точке необходимо, чтобы их координаты совпали, то есть $p = -2$.

Проверим, сколько решений имеет система при $p = -2$. Система уравнений принимает вид: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y - x^2 = -2 \end{cases}$

Из второго уравнения $x^2 = y + 2$. Подставим в первое: $(y + 2) + y^2 = 4$ $y^2 + y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти, например, по теореме Виета: $y_1 = 1$, $y_2 = -2$. Теперь найдем соответствующие значения $x$:
1. Если $y = 1$, то $x^2 = 1 + 2 = 3$. Отсюда $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$. Получаем два решения: $(\sqrt{3}, 1)$ и $(-\sqrt{3}, 1)$.
2. Если $y = -2$, то $x^2 = -2 + 2 = 0$. Отсюда $x = 0$. Получаем одно решение: $(0, -2)$.

Таким образом, при $p = -2$ система имеет ровно три решения.

Ответ: $p = -2$.

Система будет иметь одно решение в случае, когда парабола касается окружности ровно в одной точке и не имеет других общих точек. Такой случай реализуется, когда вершина параболы $(0, p)$ касается окружности в ее верхней точке $(0, 2)$. Это означает, что $p=2$.

Проверим это значение. При $p=2$ система имеет вид: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y - x^2 = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения $x^2 = y - 2$. Подставим в первое: $(y - 2) + y^2 = 4$ $y^2 + y - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни: $y_1 = 2$, $y_2 = -3$. Теперь найдем соответствующие значения $x$:
1. Если $y = 2$, то $x^2 = 2 - 2 = 0$. Отсюда $x = 0$. Получаем одно решение: $(0, 2)$.
2. Если $y = -3$, то $x^2 = -3 - 2 = -5$. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, решений для $x$ в этом случае нет.

Следовательно, при $p = 2$ система имеет ровно одно решение.

Ответ: $p = 2$.