Номер 5.35, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.35 a) $ \begin{cases} y = |x|, \\ x^2 + y = 2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = |x| - 1; \end{cases} $

В) $ \begin{cases} x^2 - y = 3 - 2x, \\ y = |x + 1| - 4; \end{cases} $

Г) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = |x| - 3. \end{cases} $

a)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = |x|, \\ x^2 + y = 2; \end{cases}$

Подставим выражение для y из первого уравнения во второе:

$x^2 + |x| = 2$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде:

$|x|^2 + |x| - 2 = 0$

Сделаем замену переменной $t = |x|$. Так как модуль не может быть отрицательным, $t \ge 0$.

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:

$t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к исходной переменной:

$|x| = t_1 = 1$

Это уравнение дает два решения для x:

$x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения y, используя уравнение $y = |x|$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = |1| = 1$.

При $x_2 = -1$, $y_2 = |-1| = 1$.

Таким образом, решения системы: $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

Ответ: $(1, 1), (-1, 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = |x| - 1; \end{cases}$

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

$x^2 + (|x| - 1)^2 = 1$

Раскроем скобки и учтем, что $x^2 = |x|^2$:

$|x|^2 + (|x|^2 - 2|x| + 1) = 1$

$2|x|^2 - 2|x| + 1 = 1$

$2|x|^2 - 2|x| = 0$

Вынесем общий множитель $2|x|$ за скобки:

$2|x|(|x| - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $2|x| = 0 \implies |x| = 0 \implies x = 0$.

Найдем y: $y = |0| - 1 = -1$. Получаем решение $(0, -1)$.

2) $|x| - 1 = 0 \implies |x| = 1$.

Отсюда $x = 1$ или $x = -1$.

Если $x = 1$, то $y = |1| - 1 = 0$. Получаем решение $(1, 0)$.

Если $x = -1$, то $y = |-1| - 1 = 0$. Получаем решение $(-1, 0)$.

Таким образом, система имеет три решения.

Ответ: $(0, -1), (1, 0), (-1, 0)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y = 3 - 2x, \\ y = |x + 1| - 4; \end{cases}$

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

$x^2 - (|x + 1| - 4) = 3 - 2x$

$x^2 - |x + 1| + 4 = 3 - 2x$

Перенесем все члены, кроме модуля, в левую часть, чтобы выделить полный квадрат:

$x^2 + 2x + 4 - 3 = |x + 1|$

$x^2 + 2x + 1 = |x + 1|$

Левая часть представляет собой полный квадрат $(x+1)^2$:

$(x + 1)^2 = |x + 1|$

Так как для любого числа $a$ верно $a^2 = |a|^2$, то заменим $(x + 1)^2$ на $|x + 1|^2$:

$|x + 1|^2 = |x + 1|$

$|x + 1|^2 - |x + 1| = 0$

Вынесем $|x + 1|$ за скобки:

$|x + 1|(|x + 1| - 1) = 0$

Рассмотрим два случая:

1) $|x + 1| = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Найдем y: $y = |-1 + 1| - 4 = 0 - 4 = -4$. Получаем решение $(-1, -4)$.

2) $|x + 1| - 1 = 0 \implies |x + 1| = 1$.

Это уравнение распадается на два:

a) $x + 1 = 1 \implies x = 0$. Найдем y: $y = |0 + 1| - 4 = 1 - 4 = -3$. Получаем решение $(0, -3)$.

б) $x + 1 = -1 \implies x = -2$. Найдем y: $y = |-2 + 1| - 4 = |-1| - 4 = 1 - 4 = -3$. Получаем решение $(-2, -3)$.

Таким образом, система имеет три решения.

Ответ: $(-1, -4), (0, -3), (-2, -3)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = |x| - 3; \end{cases}$

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

$x^2 + (|x| - 3)^2 = 9$

Раскроем скобки и учтем, что $x^2 = |x|^2$:

$|x|^2 + (|x|^2 - 6|x| + 9) = 9$

$2|x|^2 - 6|x| + 9 = 9$

$2|x|^2 - 6|x| = 0$

Вынесем общий множитель $2|x|$ за скобки:

$2|x|(|x| - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $2|x| = 0 \implies |x| = 0 \implies x = 0$.

Найдем y: $y = |0| - 3 = -3$. Получаем решение $(0, -3)$.

2) $|x| - 3 = 0 \implies |x| = 3$.

Отсюда $x = 3$ или $x = -3$.

Если $x = 3$, то $y = |3| - 3 = 0$. Получаем решение $(3, 0)$.

Если $x = -3$, то $y = |-3| - 3 = 0$. Получаем решение $(-3, 0)$.

Таким образом, система имеет три решения.

Ответ: $(0, -3), (3, 0), (-3, 0)$.