Номер 5.30, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите целочисленные решения уравнения:

5.30 а) $2x - 3y = 7$;

б) $2x + 3y = 1$;

в) $5x + 3y = 13$;

г) $4y - 5x = 19$.

а) $2x - 3y = 7$

Это линейное диофантово уравнение вида $ax + by = c$, где $a=2$, $b=-3$ и $c=7$.

1. Проверка на существование решений. Решение в целых числах существует, если $c$ делится на наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $a$ и $b$. В данном случае $\text{НОД}(2, -3) = \text{НОД}(2, 3) = 1$. Поскольку $7$ делится на $1$, уравнение имеет целочисленные решения.

2. Нахождение частного решения. Найдем одну пару чисел $(x_0, y_0)$, удовлетворяющую уравнению. Можно сделать это подбором или выразив одну переменную через другую. Выразим $x$:

$2x = 7 + 3y \implies x = \frac{7 + 3y}{2}$

Чтобы $x$ был целым числом, числитель $7 + 3y$ должен быть четным. Так как 7 — нечетное число, то $3y$ также должно быть нечетным (сумма двух нечетных чисел четна). Произведение $3y$ будет нечетным, только если $y$ — нечетное число. Возьмем простейшее нечетное значение, например, $y_0 = 1$.

Тогда $x_0 = \frac{7 + 3 \cdot 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Таким образом, частное решение $(x_0, y_0) = (5, 1)$. Проверим: $2(5) - 3(1) = 10 - 3 = 7$. Верно.

3. Нахождение общего решения. Запишем исходное уравнение и уравнение с частным решением:

$2x - 3y = 7$

$2x_0 - 3y_0 = 7 \implies 2(5) - 3(1) = 7$

Вычтем второе уравнение из первого:

$2(x - x_0) - 3(y - y_0) = 0 \implies 2(x - 5) - 3(y - 1) = 0 \implies 2(x-5) = 3(y-1)$

Поскольку числа 2 и 3 взаимно простые, для равенства необходимо, чтобы $(x-5)$ было кратно 3, а $(y-1)$ было кратно 2. То есть, $x - 5 = 3k$ и $y - 1 = 2k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Отсюда получаем общее решение:

$x = 5 + 3k$

$y = 1 + 2k$

Ответ: $x = 5 + 3k, y = 1 + 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2x + 3y = 1$

1. Проверка на существование решений. $\text{НОД}(2, 3) = 1$. $1$ делится на $1$, следовательно, решения существуют.

2. Нахождение частного решения. Выразим $x$:

$2x = 1 - 3y \implies x = \frac{1 - 3y}{2}$

Чтобы $x$ был целым, $1 - 3y$ должно быть четным. Так как 1 — нечетное, то $3y$ тоже должно быть нечетным, а значит и $y$ должен быть нечетным. Возьмем $y_0 = 1$.

Тогда $x_0 = \frac{1 - 3 \cdot 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Частное решение $(x_0, y_0) = (-1, 1)$. Проверка: $2(-1) + 3(1) = -2 + 3 = 1$. Верно.

3. Нахождение общего решения.

$2(x - x_0) + 3(y - y_0) = 0 \implies 2(x - (-1)) + 3(y - 1) = 0 \implies 2(x+1) = -3(y-1)$

Так как 2 и 3 взаимно просты, то $x+1$ должно быть кратно 3, а $y-1$ должно быть кратно 2. $x+1 = 3k \implies x = -1 + 3k$

$y-1 = -2k \implies y = 1 - 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 3k - 1, y = 1 - 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $5x + 3y = 13$

1. Проверка на существование решений. $\text{НОД}(5, 3) = 1$. $13$ делится на $1$, решения существуют.

2. Нахождение частного решения. Выразим $y$, так как у него меньший коэффициент:

$3y = 13 - 5x \implies y = \frac{13 - 5x}{3}$

Подберем такое целое $x$, чтобы $13 - 5x$ делилось на 3. При $x=1$, $13 - 5(1) = 8$ (не делится). При $x=2$, $13 - 5(2) = 3$ (делится). Итак, возьмем $x_0 = 2$.

Тогда $y_0 = \frac{13 - 5 \cdot 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

Частное решение $(x_0, y_0) = (2, 1)$. Проверка: $5(2) + 3(1) = 10 + 3 = 13$. Верно.

3. Нахождение общего решения.

$5(x - 2) + 3(y - 1) = 0 \implies 5(x-2) = -3(y-1)$

Так как 5 и 3 взаимно просты, то $x-2$ кратно 3, а $y-1$ кратно 5. $x-2 = 3k \implies x = 2 + 3k$

$y-1 = -5k \implies y = 1 - 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2 + 3k, y = 1 - 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) $4y - 5x = 19$

Перепишем уравнение в стандартном виде: $-5x + 4y = 19$.

1. Проверка на существование решений. $\text{НОД}(-5, 4) = \text{НОД}(5, 4) = 1$. $19$ делится на $1$, решения существуют.

2. Нахождение частного решения. Выразим $y$:

$4y = 19 + 5x \implies y = \frac{19 + 5x}{4}$

Подберем такое целое $x$, чтобы $19 + 5x$ делилось на 4. При $x=1$, $19 + 5(1) = 24$. $24$ делится на 4. Итак, возьмем $x_0 = 1$.

Тогда $y_0 = \frac{19 + 5 \cdot 1}{4} = \frac{24}{4} = 6$.

Частное решение $(x_0, y_0) = (1, 6)$. Проверка: $4(6) - 5(1) = 24 - 5 = 19$. Верно.

3. Нахождение общего решения.

$-5(x - 1) + 4(y - 6) = 0 \implies 4(y-6) = 5(x-1)$

Так как 4 и 5 взаимно просты, то $y-6$ кратно 5, а $x-1$ кратно 4. $x-1 = 4k \implies x = 1 + 4k$

$y-6 = 5k \implies y = 6 + 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 1 + 4k, y = 6 + 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$.