Номер 5.37, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.37 При каком значении параметра $p$ система уравнений имеет одно решение:

а) $ \begin{cases} y - x^2 = 4, \\ y + px = 4; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} y - px + 3 = 0, \\ y = (x - 1)^2 - 3? \end{cases} $

а)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y - x^2 = 4, \\ y + px = 4. \end{cases} $ Для решения системы выразим $y$ из обоих уравнений: $ \begin{cases} y = x^2 + 4, \\ y = 4 - px. \end{cases} $ Первое уравнение задает параболу, второе — прямую. Система имеет одно решение, когда графики этих функций имеют одну общую точку (касаются или пересекаются в одной точке).

Приравняем правые части уравнений: $x^2 + 4 = 4 - px$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$: $x^2 + px = 0$

Система имеет одно решение тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет единственный корень. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ уравнения равен нулю.

Для уравнения $x^2 + px + 0 = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=p$, $c=0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = p^2$

Приравняем дискриминант к нулю: $p^2 = 0$ $p = 0$

При $p=0$ система имеет одно решение.

Ответ: $p=0$.

б)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y - px + 3 = 0, \\ y = (x - 1)^2 - 3. \end{cases} $ Выразим $y$ из первого уравнения: $y = px - 3$.

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы: $px - 3 = (x - 1)^2 - 3$

Упростим уравнение, прибавив 3 к обеим частям и раскрыв скобки в правой части: $px = x^2 - 2x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$: $x^2 - 2x - px + 1 = 0$ $x^2 - (p + 2)x + 1 = 0$

Система будет иметь единственное решение, если полученное квадратное уравнение имеет ровно один корень. Это происходит, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

Для уравнения $x^2 - (p + 2)x + 1 = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=-(p+2)$, $c=1$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-(p+2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = (p+2)^2 - 4$

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $p$: $(p+2)^2 - 4 = 0$ $(p+2)^2 = 4$

Извлекая квадратный корень, получаем два возможных варианта: $p+2 = 2$ или $p+2 = -2$

Находим значения $p$: $p_1 = 2 - 2 = 0$ $p_2 = -2 - 2 = -4$

Следовательно, система имеет одно решение при двух значениях параметра $p$.

Ответ: $p=0$ или $p=-4$.