Номер 5.36, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Основные понятия. Глава 2. Системы уравнений. ч. 2 - номер 5.36, страница 34.

5.36 При каком значении параметра p пара чисел $(1; -2)$ является решением системы уравнений:

а) $\begin{cases} p^2 x + y = 2, \\ x^2 + y^2 = p + 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} p^2 x + 2py = 5, \\ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2p + 3? \end{cases}$

а) Чтобы пара чисел $(1; -2)$ была решением системы, она должна удовлетворять каждому уравнению. Подставим $x=1$ и $y=-2$ в данную систему уравнений:

$\begin{cases} p^2x + y = 2, \\ x^2 + y^2 = p + 3; \end{cases} \implies \begin{cases} p^2 \cdot 1 + (-2) = 2, \\ 1^2 + (-2)^2 = p + 3; \end{cases}$

Получим систему для нахождения $p$:

$\begin{cases} p^2 - 2 = 2, \\ 1 + 4 = p + 3; \end{cases} \implies \begin{cases} p^2 = 4, \\ 5 = p + 3; \end{cases}$

Из первого уравнения $p^2=4$, следовательно, $p=2$ или $p=-2$.
Из второго уравнения $p = 5 - 3$, следовательно, $p=2$.

Значение $p$ должно быть общим для обоих уравнений, поэтому выбираем $p=2$.

Ответ: $p=2$.

б) Аналогично, подставим $x=1$ и $y=-2$ в данную систему уравнений:

$\begin{cases} p^2x + 2py = 5, \\ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2p + 3; \end{cases} \implies \begin{cases} p^2 \cdot 1 + 2p(-2) = 5, \\ (1 + 1)^2 + (-2 - 1)^2 = 2p + 3; \end{cases}$

Упростим полученные уравнения:

$\begin{cases} p^2 - 4p = 5, \\ 2^2 + (-3)^2 = 2p + 3; \end{cases} \implies \begin{cases} p^2 - 4p - 5 = 0, \\ 4 + 9 = 2p + 3; \end{cases} \implies \begin{cases} p^2 - 4p - 5 = 0, \\ 13 = 2p + 3; \end{cases}$

Решим первое уравнение $p^2 - 4p - 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно -5. Следовательно, корни $p_1=5$ и $p_2=-1$.

Решим второе уравнение: $13 = 2p + 3$, что дает $2p=10$, и, следовательно, $p=5$.

Значение $p$ должно быть общим для обоих уравнений, поэтому выбираем $p=5$.

Ответ: $p=5$.