Номер 5.31, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.31 a) $9x^2 - 4y^2 = 5;$

б) $x^2 - 9y^2 = 7.$

а) $9x^2 - 4y^2 = 5$

Данное уравнение является уравнением гиперболы. Приведем его к каноническому виду $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. Для этого разделим обе части уравнения на 5:

$\frac{9x^2}{5} - \frac{4y^2}{5} = 1$

Запишем полученное уравнение в стандартном каноническом виде:

$\frac{x^2}{5/9} - \frac{y^2}{5/4} = 1$

Из канонического уравнения находим основные параметры гиперболы:

1. Полуоси гиперболы. Действительная (вещественная) полуось: $a^2 = \frac{5}{9}$, откуда $a = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Мнимая полуось: $b^2 = \frac{5}{4}$, откуда $b = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

2. Вершины гиперболы. Так как действительная ось совпадает с осью $Ox$, вершины находятся в точках $A_1(-a, 0)$ и $A_2(a, 0)$. Координаты вершин: $A_1(-\frac{\sqrt{5}}{3}, 0)$ и $A_2(\frac{\sqrt{5}}{3}, 0)$.

3. Фокусы гиперболы. Расстояние от центра до фокусов $c$ определяется соотношением $c^2 = a^2 + b^2$.

$c^2 = \frac{5}{9} + \frac{5}{4} = \frac{20 + 45}{36} = \frac{65}{36}$.

Отсюда $c = \sqrt{\frac{65}{36}} = \frac{\sqrt{65}}{6}$. Фокусы находятся в точках $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0)$. Координаты фокусов: $F_1(-\frac{\sqrt{65}}{6}, 0)$ и $F_2(\frac{\sqrt{65}}{6}, 0)$.

4. Эксцентриситет. Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле $e = \frac{c}{a}$.

$e = \frac{\sqrt{65}/6}{\sqrt{5}/3} = \frac{\sqrt{65}}{6} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{13 \cdot 5}}{2 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

5. Асимптоты. Уравнения асимптот гиперболы имеют вид $y = \pm \frac{b}{a}x$.

$\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5}/2}{\sqrt{5}/3} = \frac{3}{2}$.

Следовательно, уравнения асимптот: $y = \frac{3}{2}x$ и $y = -\frac{3}{2}x$.

Ответ: Каноническое уравнение: $\frac{x^2}{5/9} - \frac{y^2}{5/4} = 1$; полуоси $a=\frac{\sqrt{5}}{3}$, $b=\frac{\sqrt{5}}{2}$; вершины $(\pm \frac{\sqrt{5}}{3}, 0)$; фокусы $(\pm \frac{\sqrt{65}}{6}, 0)$; эксцентриситет $e=\frac{\sqrt{13}}{2}$; асимптоты $y = \pm \frac{3}{2}x$.

б) $x^2 - 9y^2 = 7$

Данное уравнение также является уравнением гиперболы. Приведем его к каноническому виду $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, разделив обе части на 7:

$\frac{x^2}{7} - \frac{9y^2}{7} = 1$

Запишем полученное уравнение в стандартном каноническом виде:

$\frac{x^2}{7} - \frac{y^2}{7/9} = 1$

Из канонического уравнения находим основные параметры гиперболы:

1. Полуоси гиперболы. Действительная полуось: $a^2 = 7$, откуда $a = \sqrt{7}$. Мнимая полуось: $b^2 = \frac{7}{9}$, откуда $b = \frac{\sqrt{7}}{3}$.

2. Вершины гиперболы. Вершины находятся в точках $A_1(-a, 0)$ и $A_2(a, 0)$. Координаты вершин: $A_1(-\sqrt{7}, 0)$ и $A_2(\sqrt{7}, 0)$.

3. Фокусы гиперболы. Расстояние от центра до фокусов $c$ определяется соотношением $c^2 = a^2 + b^2$.

$c^2 = 7 + \frac{7}{9} = \frac{63 + 7}{9} = \frac{70}{9}$.

Отсюда $c = \sqrt{\frac{70}{9}} = \frac{\sqrt{70}}{3}$. Фокусы находятся в точках $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0)$. Координаты фокусов: $F_1(-\frac{\sqrt{70}}{3}, 0)$ и $F_2(\frac{\sqrt{70}}{3}, 0)$.

4. Эксцентриситет. Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле $e = \frac{c}{a}$.

$e = \frac{\sqrt{70}/3}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{10 \cdot 7}}{3\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{10}}{3}$.

5. Асимптоты. Уравнения асимптот гиперболы имеют вид $y = \pm \frac{b}{a}x$.

$\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{7}/3}{\sqrt{7}} = \frac{1}{3}$.

Следовательно, уравнения асимптот: $y = \frac{1}{3}x$ и $y = -\frac{1}{3}x$.

Ответ: Каноническое уравнение: $\frac{x^2}{7} - \frac{y^2}{7/9} = 1$; полуоси $a=\sqrt{7}$, $b=\frac{\sqrt{7}}{3}$; вершины $(\pm \sqrt{7}, 0)$; фокусы $(\pm \frac{\sqrt{70}}{3}, 0)$; эксцентриситет $e=\frac{\sqrt{10}}{3}$; асимптоты $y = \pm \frac{1}{3}x$.