Номер 5.24, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.24 Решите графически систему уравнений:

a) $\begin{cases} (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4, \\ y = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x = 1, \\ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9; \end{cases}$

в) $\begin{cases} (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 9, \\ y = -1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 16, \\ x = 2. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4, \\ y = 0; \end{cases} $

Первое уравнение $ (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4 $ — это уравнение окружности. Общий вид уравнения окружности: $ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $, где $ (h, k) $ — координаты центра, а $ r $ — радиус. Для данного уравнения центр окружности находится в точке C$(-1, -2)$, а радиус $ r = \sqrt{4} = 2 $.

Второе уравнение $ y = 0 $ — это уравнение оси абсцисс (оси Ox).

Графическое решение системы заключается в нахождении координат точек пересечения графиков этих уравнений, то есть окружности и прямой. Чтобы найти эти точки, подставим $ y = 0 $ в уравнение окружности:

$ (x + 1)^2 + (0 + 2)^2 = 4 $
$ (x + 1)^2 + 4 = 4 $
$ (x + 1)^2 = 0 $
$ x + 1 = 0 $
$ x = -1 $

Получилось единственное решение $ x = -1 $. Это означает, что прямая $ y = 0 $ касается окружности в одной точке с координатами $ (-1, 0) $.

Ответ: $ (-1, 0) $.

б)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x = 1, \\ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9; \end{cases} $

Первое уравнение $ x = 1 $ — это уравнение вертикальной прямой, параллельной оси ординат (оси Oy) и проходящей через точку $ (1, 0) $.

Второе уравнение $ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 $ — это уравнение окружности с центром в точке C$ (1, -2) $ и радиусом $ r = \sqrt{9} = 3 $.

Графически, прямая $ x = 1 $ проходит через центр окружности. Следовательно, она пересекает окружность в двух точках. Для нахождения их координат подставим $ x = 1 $ в уравнение окружности:

$ (1 - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 $
$ 0^2 + (y + 2)^2 = 9 $
$ (y + 2)^2 = 9 $
$ y + 2 = \pm 3 $

Получаем два возможных значения для $ y $:
1) $ y + 2 = 3 \Rightarrow y = 1 $
2) $ y + 2 = -3 \Rightarrow y = -5 $

Таким образом, точки пересечения имеют координаты $ (1, 1) $ и $ (1, -5) $.

Ответ: $ (1, 1), (1, -5) $.

в)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 9, \\ y = -1; \end{cases} $

Первое уравнение $ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 9 $ — это уравнение окружности с центром в точке C$ (3, -1) $ и радиусом $ r = \sqrt{9} = 3 $.

Второе уравнение $ y = -1 $ — это уравнение горизонтальной прямой, параллельной оси абсцисс (оси Ox) и проходящей через точку $ (0, -1) $.

Графически, прямая $ y = -1 $ проходит через центр окружности. Следовательно, она пересекает окружность в двух точках. Для нахождения их координат подставим $ y = -1 $ в уравнение окружности:

$ (x - 3)^2 + (-1 + 1)^2 = 9 $
$ (x - 3)^2 + 0^2 = 9 $
$ (x - 3)^2 = 9 $
$ x - 3 = \pm 3 $

Получаем два возможных значения для $ x $:
1) $ x - 3 = 3 \Rightarrow x = 6 $
2) $ x - 3 = -3 \Rightarrow x = 0 $

Таким образом, точки пересечения имеют координаты $ (6, -1) $ и $ (0, -1) $.

Ответ: $ (0, -1), (6, -1) $.

г)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 16, \\ x = 2. \end{cases} $

Первое уравнение $ (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 16 $ — это уравнение окружности с центром в точке C$ (-2, 2) $ и радиусом $ r = \sqrt{16} = 4 $.

Второе уравнение $ x = 2 $ — это уравнение вертикальной прямой, параллельной оси Oy.

Для графического решения найдем точки пересечения окружности и прямой. Подставим $ x = 2 $ в уравнение окружности:

$ (2 + 2)^2 + (y - 2)^2 = 16 $
$ 4^2 + (y - 2)^2 = 16 $
$ 16 + (y - 2)^2 = 16 $
$ (y - 2)^2 = 0 $
$ y - 2 = 0 $
$ y = 2 $

Получилось единственное решение $ y = 2 $. Это означает, что прямая $ x = 2 $ касается окружности в одной точке с координатами $ (2, 2) $.

Ответ: $ (2, 2) $.