Номер 5.22, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.22 a) $ \begin{cases} y = -\frac{3}{x}, \\ y + x = -2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} xy = 4, \\ 2x - y = 2; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} y = -\frac{8}{x}, \\ x = 2 - y; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} xy = 6, \\ 3x - 2y = 0. \end{cases} $

а) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y = -\frac{3}{x} \\ y + x = -2 \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$ (-\frac{3}{x}) + x = -2 $
Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что следует из первого уравнения):
$ -3 + x^2 = -2x $
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$ x^2 + 2x - 3 = 0 $
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-3$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя уравнение $y = -3/x$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = -\frac{3}{1} = -3$.
При $x_2 = -3$, $y_2 = -\frac{3}{-3} = 1$.
Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(1, -3)$ и $(-3, 1)$.
Ответ: $(1, -3), (-3, 1)$.

б) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} xy = 4 \\ 2x - y = 2 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$ y = 2x - 2 $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ x(2x - 2) = 4 $
Раскроем скобки и преобразуем уравнение:
$ 2x^2 - 2x = 4 $
$ 2x^2 - 2x - 4 = 0 $
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$ x^2 - x - 2 = 0 $
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-2$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 2x - 2$:
При $x_1 = 2$, $y_1 = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$.
При $x_2 = -1$, $y_2 = 2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4$.
Решениями системы являются пары чисел $(2, 2)$ и $(-1, -4)$.
Ответ: $(2, 2), (-1, -4)$.

в) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y = -\frac{8}{x} \\ x = 2 - y \end{cases} $
Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:
$ y = -\frac{8}{2 - y} $
Умножим обе части на $(2 - y)$, при условии $y \neq 2$:
$ y(2 - y) = -8 $
$ 2y - y^2 = -8 $
Перенесем все члены в одну сторону и умножим на $-1$:
$ y^2 - 2y - 8 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а произведение равно $-8$. Корнями являются $y_1 = 4$ и $y_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = 2 - y$:
При $y_1 = 4$, $x_1 = 2 - 4 = -2$.
При $y_2 = -2$, $x_2 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$.
Решениями системы являются пары чисел $(-2, 4)$ и $(4, -2)$.
Ответ: $(-2, 4), (4, -2)$.

г) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} xy = 6 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$ 2y = 3x \implies y = \frac{3x}{2} $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ x \left(\frac{3x}{2}\right) = 6 $
$ \frac{3x^2}{2} = 6 $
Умножим обе части на 2:
$ 3x^2 = 12 $
Разделим на 3:
$ x^2 = 4 $
Отсюда находим два значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя $y = \frac{3x}{2}$:
При $x_1 = 2$, $y_1 = \frac{3(2)}{2} = 3$.
При $x_2 = -2$, $y_2 = \frac{3(-2)}{2} = -3$.
Решениями системы являются пары чисел $(2, 3)$ и $(-2, -3)$.
Ответ: $(2, 3), (-2, -3)$.