Номер 5.23, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.23 Сколько решений имеет система уравнений:

a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 2x - 1, \\ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 - 2; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 1, \\ y = \sqrt{x + 1}? \end{cases}$

а)

Данная система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = x; \end{cases} $

Для нахождения количества решений подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (x)^2 = 1$

$2x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как $y = x$, каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$. Таким образом, мы имеем две пары решений: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Геометрически, это точки пересечения окружности с центром в начале координат и радиусом 1, и прямой $y=x$, проходящей через центр окружности.

Ответ: 2 решения.

б)

Данная система уравнений:

$ \begin{cases} y = 2x - 1, \\ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9; \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$(x - 1)^2 + ((2x - 1) + 2)^2 = 9$

$(x - 1)^2 + (2x + 1)^2 = 9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - 2x + 1) + (4x^2 + 4x + 1) = 9$

$5x^2 + 2x + 2 = 9$

$5x^2 + 2x - 7 = 0$

Чтобы определить количество решений этого квадратного уравнения, найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 4 + 140 = 144$

Поскольку $D = 144 > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня для $x$. Каждому из этих корней будет соответствовать одно значение $y$ (из уравнения $y = 2x - 1$). Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

в)

Данная система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 - 2; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x^2$: $x^2 = y + 2$. Подставим это в первое уравнение:

$(y + 2) + y^2 = 4$

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Можно использовать теорему Виета или формулу корней. Корнями являются:

$y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$:

1. При $y = 1$: $x^2 = 1 + 2 = 3$, что дает два значения $x = \pm\sqrt{3}$. Это дает два решения: $(\sqrt{3}, 1)$ и $(-\sqrt{3}, 1)$.

2. При $y = -2$: $x^2 = -2 + 2 = 0$, что дает одно значение $x = 0$. Это дает одно решение: $(0, -2)$.

В общей сложности система имеет $2 + 1 = 3$ решения.

Ответ: 3 решения.

г)

Данная система уравнений:

$ \begin{cases} (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 1, \\ y = \sqrt{x + 1}; \end{cases} $

Проанализируем области определения и значений для каждого уравнения.

Первое уравнение — это окружность с центром в точке $(-2, 2)$ и радиусом $R=1$. Точки на этой окружности имеют координаты $x$ в диапазоне от $-2-1$ до $-2+1$, то есть $x \in [-3, -1]$. Координаты $y$ находятся в диапазоне от $2-1$ до $2+1$, то есть $y \in [1, 3]$.

Второе уравнение $y = \sqrt{x+1}$ задает функцию, область определения которой $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Область значений этой функции $y \ge 0$.

Чтобы система имела решения, должны существовать значения $x$, которые принадлежат областям определения обоих графиков.

Для окружности: $x \in [-3, -1]$.

Для функции: $x \in [-1, \infty)$.

Единственное значение $x$, которое может удовлетворять обоим условиям, — это $x = -1$.

Найдем значение $y$ для каждого уравнения при $x = -1$:

- Из второго уравнения: $y = \sqrt{-1+1} = \sqrt{0} = 0$. Получаем точку $(-1, 0)$.

- Подставим $x=-1$ в первое уравнение: $(-1+2)^2 + (y-2)^2 = 1$, что приводит к $1^2+(y-2)^2=1$, то есть $(y-2)^2=0$, откуда $y=2$. Получаем точку $(-1, 2)$.

Поскольку при $x=-1$ мы получаем разные значения $y$ ($0 \neq 2$), графики не имеют общих точек.

Ответ: 0 решений.