Номер 5.17, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.17 Составьте уравнение окружности:

a) с центром на оси $x$, проходящей через точки $(-4; 4)$ и $(-2; 0);

б) с центром на оси $y$, проходящей через точки $(8; 0)$ и $(-6; 2)$.

а) с центром на оси x, проходящей через точки (-4; 4) и (-2; 0);

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

По условию, центр окружности находится на оси $x$, следовательно, его координата $y_0 = 0$. Уравнение окружности принимает вид: $(x - x_0)^2 + y^2 = R^2$.

Окружность проходит через точки A(-4; 4) и B(-2; 0). Это означает, что координаты этих точек удовлетворяют уравнению окружности. Подставим координаты точек в уравнение, чтобы составить систему:

Для точки A(-4; 4): $(-4 - x_0)^2 + 4^2 = R^2 \Rightarrow (x_0 + 4)^2 + 16 = R^2$.

Для точки B(-2; 0): $(-2 - x_0)^2 + 0^2 = R^2 \Rightarrow (x_0 + 2)^2 = R^2$.

Так как правые части уравнений равны, приравняем их левые части:

$(x_0 + 4)^2 + 16 = (x_0 + 2)^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x_0$:

$x_0^2 + 8x_0 + 16 + 16 = x_0^2 + 4x_0 + 4$

$x_0^2 + 8x_0 + 32 = x_0^2 + 4x_0 + 4$

$8x_0 - 4x_0 = 4 - 32$

$4x_0 = -28$

$x_0 = -7$

Таким образом, центр окружности C имеет координаты (-7; 0).

Теперь найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив значение $x_0 = -7$ в любое из уравнений системы (удобнее во второе):

$R^2 = (x_0 + 2)^2 = (-7 + 2)^2 = (-5)^2 = 25$.

Подставляем найденные координаты центра $(x_0, y_0) = (-7, 0)$ и $R^2=25$ в общее уравнение окружности:

$(x - (-7))^2 + (y - 0)^2 = 25$

$(x + 7)^2 + y^2 = 25$

Ответ: $(x + 7)^2 + y^2 = 25$.

б) с центром на оси y, проходящей через точки (8; 0) и (-6; 2).

По условию, центр окружности находится на оси $y$, следовательно, его координата $x_0 = 0$. Уравнение окружности принимает вид: $x^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Окружность проходит через точки C(8; 0) и D(-6; 2). Подставим их координаты в уравнение:

Для точки C(8; 0): $8^2 + (0 - y_0)^2 = R^2 \Rightarrow 64 + y_0^2 = R^2$.

Для точки D(-6; 2): $(-6)^2 + (2 - y_0)^2 = R^2 \Rightarrow 36 + (2 - y_0)^2 = R^2$.

Приравняем выражения для $R^2$:

$64 + y_0^2 = 36 + (2 - y_0)^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y_0$:

$64 + y_0^2 = 36 + 4 - 4y_0 + y_0^2$

$64 + y_0^2 = 40 - 4y_0 + y_0^2$

$64 = 40 - 4y_0$

$24 = -4y_0$

$y_0 = -6$

Таким образом, центр окружности C имеет координаты (0; -6).

Теперь найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив $y_0 = -6$ в первое уравнение системы:

$R^2 = 64 + y_0^2 = 64 + (-6)^2 = 64 + 36 = 100$.

Подставляем найденные координаты центра $(x_0, y_0) = (0, -6)$ и $R^2=100$ в уравнение окружности:

$x^2 + (y - (-6))^2 = 100$

$x^2 + (y + 6)^2 = 100$

Ответ: $x^2 + (y + 6)^2 = 100$.