Номер 5.16, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.16 Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок $AB$, если:

а) $A(-4; 7)$, $B(6; -3)$;

б) $A(-1; -6)$, $B(7; 0)$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Чтобы составить уравнение окружности, зная координаты концов ее диаметра $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$, необходимо найти:

1. Координаты центра окружности $O(x_0; y_0)$, который является серединой диаметра $AB$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $x_0 = \frac{x_A + x_B}{2}$; $y_0 = \frac{y_A + y_B}{2}$.
2. Квадрат радиуса окружности $R^2$. Радиус равен расстоянию от центра $O$ до любой из точек на окружности, например, до точки $A$. Квадрат расстояния вычисляется по формуле: $R^2 = (x_A - x_0)^2 + (y_A - y_0)^2$.

После нахождения центра и радиуса их значения подставляются в общее уравнение окружности.

а) Даны точки $A(-4; 7)$ и $B(6; -3)$.

1. Найдем координаты центра окружности $O(x_0; y_0)$:

$x_0 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_0 = \frac{7 + (-3)}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Центр окружности — точка $O(1; 2)$.

2. Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния от центра $O(1; 2)$ до точки $A(-4; 7)$:

$R^2 = (-4 - 1)^2 + (7 - 2)^2 = (-5)^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.

3. Составим уравнение окружности, подставив координаты центра $O(1; 2)$ и $R^2=50$:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 50$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 50$

б) Даны точки $A(-1; -6)$ и $B(7; 0)$.

1. Найдем координаты центра окружности $O(x_0; y_0)$:

$x_0 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_0 = \frac{-6 + 0}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Центр окружности — точка $O(3; -3)$.

2. Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния от центра $O(3; -3)$ до точки $B(7; 0)$:

$R^2 = (7 - 3)^2 + (0 - (-3))^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.

3. Составим уравнение окружности, подставив координаты центра $O(3; -3)$ и $R^2=25$:

$(x - 3)^2 + (y - (-3))^2 = 25$

$(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 25$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 25$