Номер 5.18, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.18 Найдите решения уравнения:

a) $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 0;$

б) $\sqrt{2x - 1} + |2y + 3| = 0;$

в) $(3x - 4)^2 + y^2 = 0;$

г) $\sqrt{x} + \sqrt{y - 1} + |z - 2| = 0.$

а) В уравнении $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 0$ оба слагаемых являются квадратами действительных чисел. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x + 2)^2 \ge 0$ и $(y - 3)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Таким образом, мы можем составить систему уравнений: $ \begin{cases} (x + 2)^2 = 0 \\ (y - 3)^2 = 0 \end{cases} $
Решая эту систему, получаем: $x + 2 = 0 \implies x = -2$
$y - 3 = 0 \implies y = 3$
Следовательно, единственное решение уравнения — пара чисел $(-2, 3)$.
Ответ: $x = -2, y = 3$.

б) В уравнении $\sqrt{2x - 1} + |2y + 3| = 0$ первое слагаемое — это арифметический квадратный корень, который по определению не может быть отрицательным ($\sqrt{2x - 1} \ge 0$). Второе слагаемое — это модуль числа, который также всегда неотрицателен ($|2y + 3| \ge 0$).
Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю. Это приводит к системе: $ \begin{cases} \sqrt{2x - 1} = 0 \\ |2y + 3| = 0 \end{cases} $
Решаем каждое уравнение системы: $\sqrt{2x - 1} = 0 \implies 2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$
$|2y + 3| = 0 \implies 2y + 3 = 0 \implies 2y = -3 \implies y = -\frac{3}{2}$
Решением является пара чисел $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$.
Ответ: $x = \frac{1}{2}, y = -\frac{3}{2}$.

в) Уравнение $(3x - 4)^2 + y^2 = 0$ аналогично пункту а). Оба слагаемых являются неотрицательными, так как представляют собой квадраты действительных чисел: $(3x - 4)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$.
Их сумма может быть равна нулю только если каждое из них равно нулю. Получаем систему: $ \begin{cases} (3x - 4)^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases} $
Находим решения для каждого уравнения: $3x - 4 = 0 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3}$
$y^2 = 0 \implies y = 0$
Таким образом, решением является пара чисел $(\frac{4}{3}, 0)$.
Ответ: $x = \frac{4}{3}, y = 0$.

г) В уравнении $\sqrt{x} + \sqrt{y - 1} + |z - 2| = 0$ все три слагаемых в левой части неотрицательны:

• $\sqrt{x} \ge 0$ (при этом область определения требует $x \ge 0$)
• $\sqrt{y - 1} \ge 0$ (при этом область определения требует $y - 1 \ge 0$, то есть $y \ge 1$)
• $|z - 2| \ge 0$

Сумма трех неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Составляем систему уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{x} = 0 \\ \sqrt{y - 1} = 0 \\ |z - 2| = 0 \end{cases} $
Решаем эту систему: $\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$
$\sqrt{y - 1} = 0 \implies y - 1 = 0 \implies y = 1$
$|z - 2| = 0 \implies z - 2 = 0 \implies z = 2$
Все найденные значения удовлетворяют областям определения. Следовательно, решением является тройка чисел $(0, 1, 2)$.
Ответ: $x = 0, y = 1, z = 2$.