Номер 5.15, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.15 Составьте уравнение окружности:

а) с центром в точке $(-5; 2)$, касающейся оси $y$;

б) с центром в точке $(12; -5)$, проходящей через начало координат;

в) с центром в точке $(-4; -6)$, касающейся оси $x$;

г) с центром в точке $(2; 1)$, проходящей через точку $(-4; -7)$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Центр окружности задан координатами $(x_0, y_0) = (-5, 2)$.

Поскольку окружность касается оси $y$ (оси ординат), её радиус $R$ равен расстоянию от центра до этой оси. Расстояние от точки с координатами $(-5, 2)$ до оси $y$ (линии $x=0$) равно абсолютному значению абсциссы (координаты $x$) центра.

Таким образом, радиус $R = |x_0| = |-5| = 5$.

Подставляем координаты центра и найденный радиус в общее уравнение окружности:

$(x - (-5))^2 + (y - 2)^2 = 5^2$

$(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 25$

Ответ: $(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 25$

Центр окружности задан координатами $(x_0, y_0) = (12, -5)$.

Окружность проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Радиус $R$ равен расстоянию от центра окружности до любой точки на ней, в данном случае до начала координат. Квадрат радиуса $R^2$ можно найти по формуле расстояния между двумя точками:

$R^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

$R^2 = (0 - 12)^2 + (0 - (-5))^2 = (-12)^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.

Подставляем координаты центра и квадрат радиуса в уравнение:

$(x - 12)^2 + (y - (-5))^2 = 169$

$(x - 12)^2 + (y + 5)^2 = 169$

Ответ: $(x - 12)^2 + (y + 5)^2 = 169$

Центр окружности задан координатами $(x_0, y_0) = (-4, -6)$.

Поскольку окружность касается оси $x$ (оси абсцисс), её радиус $R$ равен расстоянию от центра до этой оси. Расстояние от точки с координатами $(-4, -6)$ до оси $x$ (линии $y=0$) равно абсолютному значению ординаты (координаты $y$) центра.

Таким образом, радиус $R = |y_0| = |-6| = 6$.

Подставляем координаты центра и найденный радиус в общее уравнение окружности:

$(x - (-4))^2 + (y - (-6))^2 = 6^2$

$(x + 4)^2 + (y + 6)^2 = 36$

Ответ: $(x + 4)^2 + (y + 6)^2 = 36$

Центр окружности задан координатами $(x_0, y_0) = (2, 1)$.

Окружность проходит через точку $(-4, -7)$. Радиус $R$ равен расстоянию от центра окружности до этой точки. Найдем квадрат радиуса $R^2$ по формуле расстояния между точками $(2, 1)$ и $(-4, -7)$:

$R^2 = (-4 - 2)^2 + (-7 - 1)^2 = (-6)^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100$.

Подставляем координаты центра и квадрат радиуса в уравнение:

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 100$

Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 100$