Номер 5.20, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.20 Какая из следующих пар чисел является решением системы уравнений

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y - 2x = 1: \end{cases}$

а) (0; 1);

б) (-1; -1);

в) (1; 0);

г) (1; 1)?

Для того чтобы определить, какая из предложенных пар чисел является решением системы уравнений, необходимо подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в оба уравнения. Решением является та пара, при подстановке которой оба уравнения превращаются в верные числовые равенства.

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ y - 2x = 1 \end{cases} $$

а) (0; 1)

Проверим пару (0; 1), где $x=0$, $y=1$.

Подставляем в первое уравнение: $x^2 + y^2 = 0^2 + 1^2 = 0 + 1 = 1$. Получаем $1 = 1$. Равенство верное.

Подставляем во второе уравнение: $y - 2x = 1 - 2 \cdot 0 = 1 - 0 = 1$. Получаем $1 = 1$. Равенство верное.

Оба равенства верны, следовательно, эта пара является решением системы.

Ответ: пара (0; 1) является решением.

б) (-1; -1)

Проверим пару (-1; -1), где $x=-1$, $y=-1$.

Подставляем в первое уравнение: $x^2 + y^2 = (-1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$. Получаем $2 = 1$. Равенство неверное.

Поскольку первое уравнение не выполняется, данная пара не является решением системы.

Ответ: пара (-1; -1) не является решением.

в) (1; 0)

Проверим пару (1; 0), где $x=1$, $y=0$.

Подставляем в первое уравнение: $x^2 + y^2 = 1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$. Получаем $1 = 1$. Равенство верное.

Подставляем во второе уравнение: $y - 2x = 0 - 2 \cdot 1 = -2$. Получаем $-2 = 1$. Равенство неверное.

Поскольку второе уравнение не выполняется, данная пара не является решением системы.

Ответ: пара (1; 0) не является решением.

г) (1; 1)

Проверим пару (1; 1), где $x=1$, $y=1$.

Подставляем в первое уравнение: $x^2 + y^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$. Получаем $2 = 1$. Равенство неверное.

Поскольку первое уравнение не выполняется, данная пара не является решением системы.

Ответ: пара (1; 1) не является решением.

Таким образом, единственной парой чисел из предложенных, которая является решением системы уравнений, является пара под буквой а).