Номер 5.26, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.26 a) $xy > 0$;

б) $xy \le 1$;

В) $xy \le 0$;

Г) $xy > 2$.

а)

Неравенство $xy > 0$ выполняется, когда переменные $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки. Это происходит, когда оба числа положительны ($x > 0$ и $y > 0$), что соответствует точкам первой координатной четверти, или когда оба числа отрицательны ($x < 0$ и $y < 0$), что соответствует точкам третьей координатной четверти. Границей области являются координатные оси, которые задаются уравнениями $x=0$ и $y=0$. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки, лежащие на осях, не входят в множество решений.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству, представляет собой объединение первой и третьей координатных четвертей, исключая координатные оси.

б)

Рассмотрим неравенство $xy \le 1$. Границей области является кривая, заданная уравнением $xy = 1$, или $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола с ветвями в первой и третьей координатных четвертях. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки на самой гиперболе являются частью решения. Чтобы определить, какую область задает неравенство, можно взять пробную точку. Возьмем начало координат, точку $(0, 0)$. Подставим ее в неравенство: $0 \cdot 0 \le 1$, что дает $0 \le 1$. Это верное неравенство. Следовательно, область, содержащая начало координат, является решением. Эта область включает в себя все точки между ветвями гиперболы, а также сами координатные оси (так как для любой точки на оси, где $x=0$ или $y=0$, произведение $xy=0$, и $0 \le 1$ верно).

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству, — это область на плоскости, расположенная между ветвями гиперболы $y = \frac{1}{x}$, включая саму гиперболу и обе координатные оси.

в)

Неравенство $xy \le 0$ выполняется, когда переменные $x$ и $y$ имеют разные знаки или хотя бы одна из них равна нулю. Случай, когда $x$ и $y$ имеют разные знаки, соответствует точкам второй ($x < 0, y > 0$) и четвертой ($x > 0, y < 0$) координатных четвертей. Случай, когда хотя бы одна переменная равна нулю ($x=0$ или $y=0$), соответствует точкам на координатных осях. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки на осях включаются в решение.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству, представляет собой объединение второй и четвертой координатных четвертей, включая координатные оси.

г)

Рассмотрим неравенство $xy > 2$. Границей области является кривая, заданная уравнением $xy = 2$, или $y = \frac{2}{x}$. Это гипербола с ветвями в первой и третьей координатных четвертях. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки на самой гиперболе не являются частью решения. Чтобы определить нужную область, проанализируем неравенство. Если $x > 0$, то, разделив на $x$, получим $y > \frac{2}{x}$. Это область в первой четверти, расположенная выше ветви гиперболы. Если $x < 0$, то при делении на отрицательное число $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $y < \frac{2}{x}$. Это область в третьей четверти, расположенная ниже ветви гиперболы.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству, — это объединение двух областей: области в первой координатной четверти, лежащей выше ветви гиперболы $y = \frac{2}{x}$, и области в третьей координатной четверти, лежащей ниже ветви той же гиперболы.