Страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите графически неравенство:

5.25 a) $2x - 3y > 6$;

б) $y \le 2x^2$;

в) $12 - 3x - 2y \le 0$;

г) $x^2 - 2y > 0$.

a)

Рассмотрим неравенство $2x - 3y > 6$.

1. Графиком этого неравенства является одна из полуплоскостей, на которые прямая $2x - 3y = 6$ делит координатную плоскость. Сначала построим эту граничную прямую. Для удобства выразим $y$ через $x$:

$-3y = 6 - 2x$

$3y = 2x - 6$

$y = \frac{2}{3}x - 2$

2. Для построения прямой найдем две точки, через которые она проходит. Удобно взять точки пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, $y = -2$. Получаем точку $(0, -2)$.
• При $y = 0$, $2x = 6$, откуда $x = 3$. Получаем точку $(3, 0)$.

3. Поскольку знак неравенства строгий ($>$), точки на самой прямой не являются решением. Поэтому граничную прямую $y = \frac{2}{3}x - 2$ следует изобразить штриховой (пунктирной) линией.

4. Чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является решением, выберем произвольную пробную точку, не лежащую на прямой. Самый простой вариант — начало координат $(0, 0)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$2(0) - 3(0) > 6$

$0 > 6$

Полученное неравенство ложно. Это означает, что полуплоскость, в которой находится точка $(0, 0)$ (верхняя), не является решением. Следовательно, решением является противоположная полуплоскость — та, что расположена ниже прямой.

Ответ: Решением неравенства является открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = \frac{2}{3}x - 2$.

б)

Рассмотрим неравенство $y \le 2x^2$.

1. Граничной линией для этого неравенства является график функции $y = 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 0)$.

2. Построим параболу по нескольким точкам:

• Вершина: $(0, 0)$.
• При $x = 1$, $y = 2(1)^2 = 2$. Точка $(1, 2)$.
• При $x = -1$, $y = 2(-1)^2 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
• При $x = 2$, $y = 2(2)^2 = 8$. Точка $(2, 8)$.

3. Поскольку знак неравенства нестрогий ($\le$), точки на самой параболе являются частью решения. Поэтому параболу $y = 2x^2$ изображаем сплошной линией.

4. Парабола делит плоскость на две области: внутреннюю (над параболой) и внешнюю (под параболой). Чтобы определить искомую область, возьмем пробную точку, например, $(0, -1)$, которая очевидно находится под параболой. Подставим ее координаты в неравенство:

$-1 \le 2(0)^2$

$-1 \le 0$

Неравенство истинно. Значит, решением является область, содержащая точку $(0, -1)$, то есть все точки под параболой.

Ответ: Решением является область, ограниченная сверху параболой $y = 2x^2$, включая саму параболу.

в)

Рассмотрим неравенство $12 - 3x - 2y \le 0$.

1. Построим граничную прямую, соответствующую уравнению $12 - 3x - 2y = 0$. Выразим $y$ через $x$:

$-2y = 3x - 12$

$2y = -3x + 12$

$y = -\frac{3}{2}x + 6$

2. Найдем две точки для построения этой прямой:

• При $x = 0$, $y = 6$. Точка $(0, 6)$.
• При $y = 0$, $0 = -\frac{3}{2}x + 6 \implies \frac{3}{2}x = 6 \implies x=4$. Точка $(4, 0)$.

3. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки на прямой являются решением, и мы изображаем ее сплошной линией.

4. Для определения нужной полуплоскости выберем пробную точку $(0, 0)$ и подставим ее в исходное неравенство:

$12 - 3(0) - 2(0) \le 0$

$12 \le 0$

Это ложное неравенство. Следовательно, решением является полуплоскость, не содержащая точку $(0, 0)$, то есть область, расположенная выше прямой.

Ответ: Решением неравенства является замкнутая полуплоскость, расположенная на и выше прямой $y = -\frac{3}{2}x + 6$.

г)

Рассмотрим неравенство $x^2 - 2y > 0$.

1. Граничной линией является кривая, заданная уравнением $x^2 - 2y = 0$. Преобразуем его, выразив $y$:

$x^2 = 2y$

$y = \frac{1}{2}x^2$

Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

2. Построим ее по нескольким точкам:

• Вершина: $(0, 0)$.
• При $x = 2$, $y = \frac{1}{2}(2)^2 = 2$. Точка $(2, 2)$.
• При $x = -2$, $y = \frac{1}{2}(-2)^2 = 2$. Точка $(-2, 2)$.

3. Неравенство строгое ($>$), поэтому точки на параболе не входят в решение. Изобразим параболу штриховой линией.

4. Чтобы определить область решения, можно преобразовать исходное неравенство: $x^2 > 2y \implies y < \frac{1}{2}x^2$. Это означает, что решением являются все точки, лежащие ниже параболы. Проверим это с помощью пробной точки $(2, 0)$, которая находится под параболой:

$(2)^2 - 2(0) > 0$

$4 > 0$

Неравенство истинно. Значит, решением является область под параболой.

Ответ: Решением неравенства является область, расположенная ниже параболы $y = \frac{1}{2}x^2$, не включая саму параболу.

5.26 a) $xy > 0$;

б) $xy \le 1$;

В) $xy \le 0$;

Г) $xy > 2$.

а)

Неравенство $xy > 0$ выполняется, когда переменные $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки. Это происходит, когда оба числа положительны ($x > 0$ и $y > 0$), что соответствует точкам первой координатной четверти, или когда оба числа отрицательны ($x < 0$ и $y < 0$), что соответствует точкам третьей координатной четверти. Границей области являются координатные оси, которые задаются уравнениями $x=0$ и $y=0$. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки, лежащие на осях, не входят в множество решений.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству, представляет собой объединение первой и третьей координатных четвертей, исключая координатные оси.

б)

Рассмотрим неравенство $xy \le 1$. Границей области является кривая, заданная уравнением $xy = 1$, или $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола с ветвями в первой и третьей координатных четвертях. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки на самой гиперболе являются частью решения. Чтобы определить, какую область задает неравенство, можно взять пробную точку. Возьмем начало координат, точку $(0, 0)$. Подставим ее в неравенство: $0 \cdot 0 \le 1$, что дает $0 \le 1$. Это верное неравенство. Следовательно, область, содержащая начало координат, является решением. Эта область включает в себя все точки между ветвями гиперболы, а также сами координатные оси (так как для любой точки на оси, где $x=0$ или $y=0$, произведение $xy=0$, и $0 \le 1$ верно).

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству, — это область на плоскости, расположенная между ветвями гиперболы $y = \frac{1}{x}$, включая саму гиперболу и обе координатные оси.

в)

Неравенство $xy \le 0$ выполняется, когда переменные $x$ и $y$ имеют разные знаки или хотя бы одна из них равна нулю. Случай, когда $x$ и $y$ имеют разные знаки, соответствует точкам второй ($x < 0, y > 0$) и четвертой ($x > 0, y < 0$) координатных четвертей. Случай, когда хотя бы одна переменная равна нулю ($x=0$ или $y=0$), соответствует точкам на координатных осях. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки на осях включаются в решение.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству, представляет собой объединение второй и четвертой координатных четвертей, включая координатные оси.

г)

Рассмотрим неравенство $xy > 2$. Границей области является кривая, заданная уравнением $xy = 2$, или $y = \frac{2}{x}$. Это гипербола с ветвями в первой и третьей координатных четвертях. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки на самой гиперболе не являются частью решения. Чтобы определить нужную область, проанализируем неравенство. Если $x > 0$, то, разделив на $x$, получим $y > \frac{2}{x}$. Это область в первой четверти, расположенная выше ветви гиперболы. Если $x < 0$, то при делении на отрицательное число $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $y < \frac{2}{x}$. Это область в третьей четверти, расположенная ниже ветви гиперболы.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству, — это объединение двух областей: области в первой координатной четверти, лежащей выше ветви гиперболы $y = \frac{2}{x}$, и области в третьей координатной четверти, лежащей ниже ветви той же гиперболы.

5.27 а) $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 < 4$;

б) $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 \ge 9$;

в) $(x + 3)^2 + (y + 1)^2 \le 25$;

г) $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 > 16$.

а) $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 < 4$

Данное неравенство описывает множество точек $(x, y)$ на координатной плоскости. Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Левая часть неравенства представляет собой квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до точки $(2, -3)$.

1. Определим параметры окружности, которая является границей области. Уравнение соответствующей окружности: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$.
Его можно записать как $(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 2^2$.
Отсюда следует, что центр окружности находится в точке $C(2, -3)$, а ее радиус $R = 2$.

2. Интерпретируем знак неравенства. Знак "<" означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до центра $(2, -3)$ должен быть строго меньше квадрата радиуса ($R^2=4$). Это соответствует всем точкам, находящимся внутри окружности. Поскольку неравенство строгое, точки на самой окружности в решение не входят.

Ответ: Множество точек, расположенных внутри окружности с центром в точке $(2, -3)$ и радиусом 2 (открытый круг).

б) $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 \ge 9$

Это неравенство также определяет область на координатной плоскости, границей которой является окружность.

1. Определим параметры окружности. Уравнение соответствующей окружности: $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 9$.
Запишем в стандартном виде: $(x - (-4))^2 + (y - 2)^2 = 3^2$.
Центр окружности находится в точке $C(-4, 2)$, а радиус $R = 3$.

2. Интерпретируем знак неравенства. Знак "$\ge$" означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до центра $(-4, 2)$ должен быть больше или равен квадрату радиуса ($R^2=9$). Это соответствует всем точкам, находящимся на самой окружности или вне ее. Поскольку неравенство нестрогое, точки на самой окружности включаются в решение.

Ответ: Множество точек, расположенных на окружности с центром в точке $(-4, 2)$ и радиусом 3, а также все точки вне этой окружности.

в) $(x + 3)^2 + (y + 1)^2 \le 25$

Данное неравенство определяет замкнутый круг на координатной плоскости.

1. Определим параметры окружности, которая является границей. Уравнение: $(x + 3)^2 + (y + 1)^2 = 25$.
Стандартный вид: $(x - (-3))^2 + (y - (-1))^2 = 5^2$.
Центр окружности находится в точке $C(-3, -1)$, а радиус $R = 5$.

2. Интерпретируем знак неравенства. Знак "$\le$" означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до центра $(-3, -1)$ должен быть меньше или равен квадрату радиуса ($R^2=25$). Это соответствует всем точкам, находящимся внутри окружности и на ее границе. Такое множество называется кругом.

Ответ: Круг с центром в точке $(-3, -1)$ и радиусом 5.

г) $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 > 16$

Данное неравенство описывает внешнюю область по отношению к окружности.

1. Определим параметры окружности, являющейся границей. Уравнение: $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$.
Стандартный вид: $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4^2$.
Центр окружности находится в точке $C(3, 4)$, а радиус $R = 4$.

2. Интерпретируем знак неравенства. Знак "$>$" означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до центра $(3, 4)$ должен быть строго больше квадрата радиуса ($R^2=16$). Это соответствует всем точкам, находящимся вне окружности. Поскольку неравенство строгое, точки на самой окружности в решение не входят.

Ответ: Множество точек, расположенных вне окружности с центром в точке $(3, 4)$ и радиусом 4.

5.28 Постройте график уравнения:

а) $(3x + y + 9)(5x + y - 5) = 0;$

б) $(xy - 4)(x + 2y) = 0;$

в) $(4x + 3y - 12)(2x - 9y + 18) = 0;$

г) $(x - 5y)(2y - x^2) = 0.$

а) Уравнение $(3x + y + 9)(5x + y - 5) = 0$ представляет собой произведение, равное нулю. Это равносильно совокупности двух уравнений:

$3x + y + 9 = 0$

или

$5x + y - 5 = 0$

Графиком исходного уравнения является объединение графиков этих двух линейных уравнений. Каждое из них задает на координатной плоскости прямую линию.

1. Рассмотрим первое уравнение: $3x + y + 9 = 0$. Выразим $y$: $y = -3x - 9$. Это уравнение прямой. Для ее построения найдем две точки, принадлежащие этой прямой.
- если $x = 0$, то $y = -3(0) - 9 = -9$. Получаем точку $(0, -9)$.
- если $y = 0$, то $3x + 9 = 0$, откуда $x = -3$. Получаем точку $(-3, 0)$.

2. Рассмотрим второе уравнение: $5x + y - 5 = 0$. Выразим $y$: $y = -5x + 5$. Это также уравнение прямой. Найдем две точки для ее построения.
- если $x = 0$, то $y = -5(0) + 5 = 5$. Получаем точку $(0, 5)$.
- если $y = 0$, то $5x - 5 = 0$, откуда $x = 1$. Получаем точку $(1, 0)$.

Ответ: График уравнения состоит из двух пересекающихся прямых, заданных уравнениями $y = -3x - 9$ и $y = -5x + 5$.

б) Уравнение $(xy - 4)(x + 2y) = 0$ распадается на совокупность двух уравнений:

$xy - 4 = 0$

или

$x + 2y = 0$

График исходного уравнения является объединением графиков этих двух уравнений.

1. Первое уравнение $xy - 4 = 0$ можно переписать в виде $y = \frac{4}{x}$ (при $x \ne 0$). Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

2. Второе уравнение $x + 2y = 0$ является линейным. Выразим $y$: $y = -\frac{1}{2}x$. Это уравнение прямой, проходящей через начало координат. Для построения найдем еще одну точку, например, если $x = 2$, то $y = -1$. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(2, -1)$.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение гиперболы $y = \frac{4}{x}$ и прямой $y = -\frac{1}{2}x$.

в) Уравнение $(4x + 3y - 12)(2x - 9y + 18) = 0$ равносильно совокупности двух линейных уравнений:

$4x + 3y - 12 = 0$

или

$2x - 9y + 18 = 0$

График исходного уравнения состоит из двух прямых.

1. Для прямой $4x + 3y - 12 = 0$ выразим $y$: $3y = -4x + 12$, откуда $y = -\frac{4}{3}x + 4$. Найдем точки пересечения с осями координат:
- с осью OY ($x=0$): $y = 4$. Точка $(0, 4)$.
- с осью OX ($y=0$): $4x - 12 = 0$, $x = 3$. Точка $(3, 0)$.

2. Для прямой $2x - 9y + 18 = 0$ выразим $y$: $9y = 2x + 18$, откуда $y = \frac{2}{9}x + 2$. Найдем точки пересечения с осями координат:
- с осью OY ($x=0$): $y = 2$. Точка $(0, 2)$.
- с осью OX ($y=0$): $2x + 18 = 0$, $x = -9$. Точка $(-9, 0)$.

Ответ: График уравнения состоит из двух пересекающихся прямых, заданных уравнениями $y = -\frac{4}{3}x + 4$ и $y = \frac{2}{9}x + 2$.

г) Уравнение $(x - 5y)(2y - x^2) = 0$ распадается на совокупность двух уравнений:

$x - 5y = 0$

или

$2y - x^2 = 0$

График исходного уравнения является объединением графиков этих двух уравнений.

1. Первое уравнение $x - 5y = 0$ является линейным. Выразим $y$: $y = \frac{1}{5}x$. Это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$. Для построения возьмем еще одну точку, например, при $x = 5$, $y = 1$. Точка $(5, 1)$.

2. Второе уравнение $2y - x^2 = 0$ можно переписать в виде $y = \frac{1}{2}x^2$. Это уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. Для построения найдем несколько точек:
- если $x = 2$, то $y = \frac{1}{2}(2)^2 = 2$. Точка $(2, 2)$.
- если $x = -2$, то $y = \frac{1}{2}(-2)^2 = 2$. Точка $(-2, 2)$.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение прямой $y = \frac{1}{5}x$ и параболы $y = \frac{1}{2}x^2$.

5.29 Постройте график уравнения:

a) $x^2 + y^2 + 8x = 0;$

б) $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 6;$

в) $x^2 + y^2 - 10y = 0;$

г) $x^2 + y^2 = 6y - 4x - 4.$

а) $x^2 + y^2 + 8x = 0$

Для построения графика данного уравнения необходимо привести его к каноническому виду уравнения окружности: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Сгруппируем члены, содержащие $x$, и выделим полный квадрат:
$(x^2 + 8x) + y^2 = 0$
Чтобы выделить полный квадрат из выражения $x^2 + 8x$, нужно добавить к нему $(8/2)^2 = 4^2 = 16$. Чтобы равенство сохранилось, добавим 16 к обеим частям уравнения:
$(x^2 + 8x + 16) + y^2 = 16$
Теперь свернем левую часть в полный квадрат:
$(x + 4)^2 + y^2 = 16$
Запишем уравнение в каноническом виде, чтобы явно видеть координаты центра и радиус:
$(x - (-4))^2 + (y - 0)^2 = 4^2$

Из этого уравнения видно, что графиком является окружность с центром в точке $(-4, 0)$ и радиусом $R = 4$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(-4, 0)$ и радиусом 4.

б) $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 6$

Приведем уравнение к каноническому виду уравнения окружности. Для этого сгруппируем члены с $x$ и с $y$ и в каждой группе выделим полный квадрат.

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) = 6$
Для выражения $x^2 - 6x$ добавим $(-6/2)^2 = (-3)^2 = 9$.
Для выражения $y^2 + 2y$ добавим $(2/2)^2 = 1^2 = 1$.
Чтобы уравнение осталось верным, добавим 9 и 1 к правой части:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 2y + 1) = 6 + 9 + 1$
Свернем полные квадраты:
$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 16$
Запишем в каноническом виде:
$(x - 3)^2 + (y - (-1))^2 = 4^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(3, -1)$ и радиусом $R = 4$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(3, -1)$ и радиусом 4.

в) $x^2 + y^2 - 10y = 0$

Приведем уравнение к каноническому виду уравнения окружности. Сгруппируем члены, содержащие $y$, и выделим полный квадрат.

$x^2 + (y^2 - 10y) = 0$
Для выделения полного квадрата из выражения $y^2 - 10y$ добавим к обеим частям уравнения $(-10/2)^2 = (-5)^2 = 25$:
$x^2 + (y^2 - 10y + 25) = 25$
Свернем полный квадрат:
$x^2 + (y - 5)^2 = 25$
Запишем в каноническом виде:
$(x - 0)^2 + (y - 5)^2 = 5^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 5)$ и радиусом $R = 5$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(0, 5)$ и радиусом 5.

г) $x^2 + y^2 = 6y - 4x - 4$

Сначала перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

$x^2 + 4x + y^2 - 6y = -4$
Теперь сгруппируем члены с $x$ и с $y$ и выделим полные квадраты.
$(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) = -4$
Для выражения $x^2 + 4x$ добавим $(4/2)^2 = 2^2 = 4$.
Для выражения $y^2 - 6y$ добавим $(-6/2)^2 = (-3)^2 = 9$.
Добавим 4 и 9 к правой части, чтобы сохранить равенство:
$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = -4 + 4 + 9$
Свернем полные квадраты:
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$
Запишем в каноническом виде:
$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 3^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(-2, 3)$ и радиусом $R = 3$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(-2, 3)$ и радиусом 3.

Найдите целочисленные решения уравнения:

5.30 а) $2x - 3y = 7$;

б) $2x + 3y = 1$;

в) $5x + 3y = 13$;

г) $4y - 5x = 19$.

а) $2x - 3y = 7$

Это линейное диофантово уравнение вида $ax + by = c$, где $a=2$, $b=-3$ и $c=7$.

1. Проверка на существование решений. Решение в целых числах существует, если $c$ делится на наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $a$ и $b$. В данном случае $\text{НОД}(2, -3) = \text{НОД}(2, 3) = 1$. Поскольку $7$ делится на $1$, уравнение имеет целочисленные решения.

2. Нахождение частного решения. Найдем одну пару чисел $(x_0, y_0)$, удовлетворяющую уравнению. Можно сделать это подбором или выразив одну переменную через другую. Выразим $x$:

$2x = 7 + 3y \implies x = \frac{7 + 3y}{2}$

Чтобы $x$ был целым числом, числитель $7 + 3y$ должен быть четным. Так как 7 — нечетное число, то $3y$ также должно быть нечетным (сумма двух нечетных чисел четна). Произведение $3y$ будет нечетным, только если $y$ — нечетное число. Возьмем простейшее нечетное значение, например, $y_0 = 1$.

Тогда $x_0 = \frac{7 + 3 \cdot 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Таким образом, частное решение $(x_0, y_0) = (5, 1)$. Проверим: $2(5) - 3(1) = 10 - 3 = 7$. Верно.

3. Нахождение общего решения. Запишем исходное уравнение и уравнение с частным решением:

$2x - 3y = 7$

$2x_0 - 3y_0 = 7 \implies 2(5) - 3(1) = 7$

Вычтем второе уравнение из первого:

$2(x - x_0) - 3(y - y_0) = 0 \implies 2(x - 5) - 3(y - 1) = 0 \implies 2(x-5) = 3(y-1)$

Поскольку числа 2 и 3 взаимно простые, для равенства необходимо, чтобы $(x-5)$ было кратно 3, а $(y-1)$ было кратно 2. То есть, $x - 5 = 3k$ и $y - 1 = 2k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Отсюда получаем общее решение:

$x = 5 + 3k$

$y = 1 + 2k$

Ответ: $x = 5 + 3k, y = 1 + 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2x + 3y = 1$

1. Проверка на существование решений. $\text{НОД}(2, 3) = 1$. $1$ делится на $1$, следовательно, решения существуют.

2. Нахождение частного решения. Выразим $x$:

$2x = 1 - 3y \implies x = \frac{1 - 3y}{2}$

Чтобы $x$ был целым, $1 - 3y$ должно быть четным. Так как 1 — нечетное, то $3y$ тоже должно быть нечетным, а значит и $y$ должен быть нечетным. Возьмем $y_0 = 1$.

Тогда $x_0 = \frac{1 - 3 \cdot 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Частное решение $(x_0, y_0) = (-1, 1)$. Проверка: $2(-1) + 3(1) = -2 + 3 = 1$. Верно.

3. Нахождение общего решения.

$2(x - x_0) + 3(y - y_0) = 0 \implies 2(x - (-1)) + 3(y - 1) = 0 \implies 2(x+1) = -3(y-1)$

Так как 2 и 3 взаимно просты, то $x+1$ должно быть кратно 3, а $y-1$ должно быть кратно 2. $x+1 = 3k \implies x = -1 + 3k$

$y-1 = -2k \implies y = 1 - 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 3k - 1, y = 1 - 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $5x + 3y = 13$

1. Проверка на существование решений. $\text{НОД}(5, 3) = 1$. $13$ делится на $1$, решения существуют.

2. Нахождение частного решения. Выразим $y$, так как у него меньший коэффициент:

$3y = 13 - 5x \implies y = \frac{13 - 5x}{3}$

Подберем такое целое $x$, чтобы $13 - 5x$ делилось на 3. При $x=1$, $13 - 5(1) = 8$ (не делится). При $x=2$, $13 - 5(2) = 3$ (делится). Итак, возьмем $x_0 = 2$.

Тогда $y_0 = \frac{13 - 5 \cdot 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

Частное решение $(x_0, y_0) = (2, 1)$. Проверка: $5(2) + 3(1) = 10 + 3 = 13$. Верно.

3. Нахождение общего решения.

$5(x - 2) + 3(y - 1) = 0 \implies 5(x-2) = -3(y-1)$

Так как 5 и 3 взаимно просты, то $x-2$ кратно 3, а $y-1$ кратно 5. $x-2 = 3k \implies x = 2 + 3k$

$y-1 = -5k \implies y = 1 - 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2 + 3k, y = 1 - 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) $4y - 5x = 19$

Перепишем уравнение в стандартном виде: $-5x + 4y = 19$.

1. Проверка на существование решений. $\text{НОД}(-5, 4) = \text{НОД}(5, 4) = 1$. $19$ делится на $1$, решения существуют.

2. Нахождение частного решения. Выразим $y$:

$4y = 19 + 5x \implies y = \frac{19 + 5x}{4}$

Подберем такое целое $x$, чтобы $19 + 5x$ делилось на 4. При $x=1$, $19 + 5(1) = 24$. $24$ делится на 4. Итак, возьмем $x_0 = 1$.

Тогда $y_0 = \frac{19 + 5 \cdot 1}{4} = \frac{24}{4} = 6$.

Частное решение $(x_0, y_0) = (1, 6)$. Проверка: $4(6) - 5(1) = 24 - 5 = 19$. Верно.

3. Нахождение общего решения.

$-5(x - 1) + 4(y - 6) = 0 \implies 4(y-6) = 5(x-1)$

Так как 4 и 5 взаимно просты, то $y-6$ кратно 5, а $x-1$ кратно 4. $x-1 = 4k \implies x = 1 + 4k$

$y-6 = 5k \implies y = 6 + 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 1 + 4k, y = 6 + 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$.