Номер 5.28, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.28 Постройте график уравнения:

а) $(3x + y + 9)(5x + y - 5) = 0;$

б) $(xy - 4)(x + 2y) = 0;$

в) $(4x + 3y - 12)(2x - 9y + 18) = 0;$

г) $(x - 5y)(2y - x^2) = 0.$

а) Уравнение $(3x + y + 9)(5x + y - 5) = 0$ представляет собой произведение, равное нулю. Это равносильно совокупности двух уравнений:

$3x + y + 9 = 0$

или

$5x + y - 5 = 0$

Графиком исходного уравнения является объединение графиков этих двух линейных уравнений. Каждое из них задает на координатной плоскости прямую линию.

1. Рассмотрим первое уравнение: $3x + y + 9 = 0$. Выразим $y$: $y = -3x - 9$. Это уравнение прямой. Для ее построения найдем две точки, принадлежащие этой прямой.
- если $x = 0$, то $y = -3(0) - 9 = -9$. Получаем точку $(0, -9)$.
- если $y = 0$, то $3x + 9 = 0$, откуда $x = -3$. Получаем точку $(-3, 0)$.

2. Рассмотрим второе уравнение: $5x + y - 5 = 0$. Выразим $y$: $y = -5x + 5$. Это также уравнение прямой. Найдем две точки для ее построения.
- если $x = 0$, то $y = -5(0) + 5 = 5$. Получаем точку $(0, 5)$.
- если $y = 0$, то $5x - 5 = 0$, откуда $x = 1$. Получаем точку $(1, 0)$.

Ответ: График уравнения состоит из двух пересекающихся прямых, заданных уравнениями $y = -3x - 9$ и $y = -5x + 5$.

б) Уравнение $(xy - 4)(x + 2y) = 0$ распадается на совокупность двух уравнений:

$xy - 4 = 0$

или

$x + 2y = 0$

График исходного уравнения является объединением графиков этих двух уравнений.

1. Первое уравнение $xy - 4 = 0$ можно переписать в виде $y = \frac{4}{x}$ (при $x \ne 0$). Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

2. Второе уравнение $x + 2y = 0$ является линейным. Выразим $y$: $y = -\frac{1}{2}x$. Это уравнение прямой, проходящей через начало координат. Для построения найдем еще одну точку, например, если $x = 2$, то $y = -1$. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(2, -1)$.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение гиперболы $y = \frac{4}{x}$ и прямой $y = -\frac{1}{2}x$.

в) Уравнение $(4x + 3y - 12)(2x - 9y + 18) = 0$ равносильно совокупности двух линейных уравнений:

$4x + 3y - 12 = 0$

или

$2x - 9y + 18 = 0$

График исходного уравнения состоит из двух прямых.

1. Для прямой $4x + 3y - 12 = 0$ выразим $y$: $3y = -4x + 12$, откуда $y = -\frac{4}{3}x + 4$. Найдем точки пересечения с осями координат:
- с осью OY ($x=0$): $y = 4$. Точка $(0, 4)$.
- с осью OX ($y=0$): $4x - 12 = 0$, $x = 3$. Точка $(3, 0)$.

2. Для прямой $2x - 9y + 18 = 0$ выразим $y$: $9y = 2x + 18$, откуда $y = \frac{2}{9}x + 2$. Найдем точки пересечения с осями координат:
- с осью OY ($x=0$): $y = 2$. Точка $(0, 2)$.
- с осью OX ($y=0$): $2x + 18 = 0$, $x = -9$. Точка $(-9, 0)$.

Ответ: График уравнения состоит из двух пересекающихся прямых, заданных уравнениями $y = -\frac{4}{3}x + 4$ и $y = \frac{2}{9}x + 2$.

г) Уравнение $(x - 5y)(2y - x^2) = 0$ распадается на совокупность двух уравнений:

$x - 5y = 0$

или

$2y - x^2 = 0$

График исходного уравнения является объединением графиков этих двух уравнений.

1. Первое уравнение $x - 5y = 0$ является линейным. Выразим $y$: $y = \frac{1}{5}x$. Это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$. Для построения возьмем еще одну точку, например, при $x = 5$, $y = 1$. Точка $(5, 1)$.

2. Второе уравнение $2y - x^2 = 0$ можно переписать в виде $y = \frac{1}{2}x^2$. Это уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. Для построения найдем несколько точек:
- если $x = 2$, то $y = \frac{1}{2}(2)^2 = 2$. Точка $(2, 2)$.
- если $x = -2$, то $y = \frac{1}{2}(-2)^2 = 2$. Точка $(-2, 2)$.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение прямой $y = \frac{1}{5}x$ и параболы $y = \frac{1}{2}x^2$.