Номер 5.27, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.27 а) $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 < 4$;

б) $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 \ge 9$;

в) $(x + 3)^2 + (y + 1)^2 \le 25$;

г) $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 > 16$.

а) $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 < 4$

Данное неравенство описывает множество точек $(x, y)$ на координатной плоскости. Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Левая часть неравенства представляет собой квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до точки $(2, -3)$.

1. Определим параметры окружности, которая является границей области. Уравнение соответствующей окружности: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$.
Его можно записать как $(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 2^2$.
Отсюда следует, что центр окружности находится в точке $C(2, -3)$, а ее радиус $R = 2$.

2. Интерпретируем знак неравенства. Знак "<" означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до центра $(2, -3)$ должен быть строго меньше квадрата радиуса ($R^2=4$). Это соответствует всем точкам, находящимся внутри окружности. Поскольку неравенство строгое, точки на самой окружности в решение не входят.

Ответ: Множество точек, расположенных внутри окружности с центром в точке $(2, -3)$ и радиусом 2 (открытый круг).

б) $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 \ge 9$

Это неравенство также определяет область на координатной плоскости, границей которой является окружность.

1. Определим параметры окружности. Уравнение соответствующей окружности: $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 9$.
Запишем в стандартном виде: $(x - (-4))^2 + (y - 2)^2 = 3^2$.
Центр окружности находится в точке $C(-4, 2)$, а радиус $R = 3$.

2. Интерпретируем знак неравенства. Знак "$\ge$" означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до центра $(-4, 2)$ должен быть больше или равен квадрату радиуса ($R^2=9$). Это соответствует всем точкам, находящимся на самой окружности или вне ее. Поскольку неравенство нестрогое, точки на самой окружности включаются в решение.

Ответ: Множество точек, расположенных на окружности с центром в точке $(-4, 2)$ и радиусом 3, а также все точки вне этой окружности.

в) $(x + 3)^2 + (y + 1)^2 \le 25$

Данное неравенство определяет замкнутый круг на координатной плоскости.

1. Определим параметры окружности, которая является границей. Уравнение: $(x + 3)^2 + (y + 1)^2 = 25$.
Стандартный вид: $(x - (-3))^2 + (y - (-1))^2 = 5^2$.
Центр окружности находится в точке $C(-3, -1)$, а радиус $R = 5$.

2. Интерпретируем знак неравенства. Знак "$\le$" означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до центра $(-3, -1)$ должен быть меньше или равен квадрату радиуса ($R^2=25$). Это соответствует всем точкам, находящимся внутри окружности и на ее границе. Такое множество называется кругом.

Ответ: Круг с центром в точке $(-3, -1)$ и радиусом 5.

г) $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 > 16$

Данное неравенство описывает внешнюю область по отношению к окружности.

1. Определим параметры окружности, являющейся границей. Уравнение: $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$.
Стандартный вид: $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4^2$.
Центр окружности находится в точке $C(3, 4)$, а радиус $R = 4$.

2. Интерпретируем знак неравенства. Знак "$>$" означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до центра $(3, 4)$ должен быть строго больше квадрата радиуса ($R^2=16$). Это соответствует всем точкам, находящимся вне окружности. Поскольку неравенство строгое, точки на самой окружности в решение не входят.

Ответ: Множество точек, расположенных вне окружности с центром в точке $(3, 4)$ и радиусом 4.