Номер 5.29, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.29 Постройте график уравнения:

a) $x^2 + y^2 + 8x = 0;$

б) $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 6;$

в) $x^2 + y^2 - 10y = 0;$

г) $x^2 + y^2 = 6y - 4x - 4.$

а) $x^2 + y^2 + 8x = 0$

Для построения графика данного уравнения необходимо привести его к каноническому виду уравнения окружности: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Сгруппируем члены, содержащие $x$, и выделим полный квадрат:
$(x^2 + 8x) + y^2 = 0$
Чтобы выделить полный квадрат из выражения $x^2 + 8x$, нужно добавить к нему $(8/2)^2 = 4^2 = 16$. Чтобы равенство сохранилось, добавим 16 к обеим частям уравнения:
$(x^2 + 8x + 16) + y^2 = 16$
Теперь свернем левую часть в полный квадрат:
$(x + 4)^2 + y^2 = 16$
Запишем уравнение в каноническом виде, чтобы явно видеть координаты центра и радиус:
$(x - (-4))^2 + (y - 0)^2 = 4^2$

Из этого уравнения видно, что графиком является окружность с центром в точке $(-4, 0)$ и радиусом $R = 4$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(-4, 0)$ и радиусом 4.

б) $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 6$

Приведем уравнение к каноническому виду уравнения окружности. Для этого сгруппируем члены с $x$ и с $y$ и в каждой группе выделим полный квадрат.

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) = 6$
Для выражения $x^2 - 6x$ добавим $(-6/2)^2 = (-3)^2 = 9$.
Для выражения $y^2 + 2y$ добавим $(2/2)^2 = 1^2 = 1$.
Чтобы уравнение осталось верным, добавим 9 и 1 к правой части:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 2y + 1) = 6 + 9 + 1$
Свернем полные квадраты:
$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 16$
Запишем в каноническом виде:
$(x - 3)^2 + (y - (-1))^2 = 4^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(3, -1)$ и радиусом $R = 4$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(3, -1)$ и радиусом 4.

в) $x^2 + y^2 - 10y = 0$

Приведем уравнение к каноническому виду уравнения окружности. Сгруппируем члены, содержащие $y$, и выделим полный квадрат.

$x^2 + (y^2 - 10y) = 0$
Для выделения полного квадрата из выражения $y^2 - 10y$ добавим к обеим частям уравнения $(-10/2)^2 = (-5)^2 = 25$:
$x^2 + (y^2 - 10y + 25) = 25$
Свернем полный квадрат:
$x^2 + (y - 5)^2 = 25$
Запишем в каноническом виде:
$(x - 0)^2 + (y - 5)^2 = 5^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 5)$ и радиусом $R = 5$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(0, 5)$ и радиусом 5.

г) $x^2 + y^2 = 6y - 4x - 4$

Сначала перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

$x^2 + 4x + y^2 - 6y = -4$
Теперь сгруппируем члены с $x$ и с $y$ и выделим полные квадраты.
$(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) = -4$
Для выражения $x^2 + 4x$ добавим $(4/2)^2 = 2^2 = 4$.
Для выражения $y^2 - 6y$ добавим $(-6/2)^2 = (-3)^2 = 9$.
Добавим 4 и 9 к правой части, чтобы сохранить равенство:
$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = -4 + 4 + 9$
Свернем полные квадраты:
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$
Запишем в каноническом виде:
$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 3^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(-2, 3)$ и радиусом $R = 3$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(-2, 3)$ и радиусом 3.