Номер 5.25, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите графически неравенство:

5.25 a) $2x - 3y > 6$;

б) $y \le 2x^2$;

в) $12 - 3x - 2y \le 0$;

г) $x^2 - 2y > 0$.

a)

Рассмотрим неравенство $2x - 3y > 6$.

1. Графиком этого неравенства является одна из полуплоскостей, на которые прямая $2x - 3y = 6$ делит координатную плоскость. Сначала построим эту граничную прямую. Для удобства выразим $y$ через $x$:

$-3y = 6 - 2x$

$3y = 2x - 6$

$y = \frac{2}{3}x - 2$

2. Для построения прямой найдем две точки, через которые она проходит. Удобно взять точки пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, $y = -2$. Получаем точку $(0, -2)$.
• При $y = 0$, $2x = 6$, откуда $x = 3$. Получаем точку $(3, 0)$.

3. Поскольку знак неравенства строгий ($>$), точки на самой прямой не являются решением. Поэтому граничную прямую $y = \frac{2}{3}x - 2$ следует изобразить штриховой (пунктирной) линией.

4. Чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является решением, выберем произвольную пробную точку, не лежащую на прямой. Самый простой вариант — начало координат $(0, 0)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$2(0) - 3(0) > 6$

$0 > 6$

Полученное неравенство ложно. Это означает, что полуплоскость, в которой находится точка $(0, 0)$ (верхняя), не является решением. Следовательно, решением является противоположная полуплоскость — та, что расположена ниже прямой.

Ответ: Решением неравенства является открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = \frac{2}{3}x - 2$.

б)

Рассмотрим неравенство $y \le 2x^2$.

1. Граничной линией для этого неравенства является график функции $y = 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 0)$.

2. Построим параболу по нескольким точкам:

• Вершина: $(0, 0)$.
• При $x = 1$, $y = 2(1)^2 = 2$. Точка $(1, 2)$.
• При $x = -1$, $y = 2(-1)^2 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
• При $x = 2$, $y = 2(2)^2 = 8$. Точка $(2, 8)$.

3. Поскольку знак неравенства нестрогий ($\le$), точки на самой параболе являются частью решения. Поэтому параболу $y = 2x^2$ изображаем сплошной линией.

4. Парабола делит плоскость на две области: внутреннюю (над параболой) и внешнюю (под параболой). Чтобы определить искомую область, возьмем пробную точку, например, $(0, -1)$, которая очевидно находится под параболой. Подставим ее координаты в неравенство:

$-1 \le 2(0)^2$

$-1 \le 0$

Неравенство истинно. Значит, решением является область, содержащая точку $(0, -1)$, то есть все точки под параболой.

Ответ: Решением является область, ограниченная сверху параболой $y = 2x^2$, включая саму параболу.

в)

Рассмотрим неравенство $12 - 3x - 2y \le 0$.

1. Построим граничную прямую, соответствующую уравнению $12 - 3x - 2y = 0$. Выразим $y$ через $x$:

$-2y = 3x - 12$

$2y = -3x + 12$

$y = -\frac{3}{2}x + 6$

2. Найдем две точки для построения этой прямой:

• При $x = 0$, $y = 6$. Точка $(0, 6)$.
• При $y = 0$, $0 = -\frac{3}{2}x + 6 \implies \frac{3}{2}x = 6 \implies x=4$. Точка $(4, 0)$.

3. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки на прямой являются решением, и мы изображаем ее сплошной линией.

4. Для определения нужной полуплоскости выберем пробную точку $(0, 0)$ и подставим ее в исходное неравенство:

$12 - 3(0) - 2(0) \le 0$

$12 \le 0$

Это ложное неравенство. Следовательно, решением является полуплоскость, не содержащая точку $(0, 0)$, то есть область, расположенная выше прямой.

Ответ: Решением неравенства является замкнутая полуплоскость, расположенная на и выше прямой $y = -\frac{3}{2}x + 6$.

г)

Рассмотрим неравенство $x^2 - 2y > 0$.

1. Граничной линией является кривая, заданная уравнением $x^2 - 2y = 0$. Преобразуем его, выразив $y$:

$x^2 = 2y$

$y = \frac{1}{2}x^2$

Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

2. Построим ее по нескольким точкам:

• Вершина: $(0, 0)$.
• При $x = 2$, $y = \frac{1}{2}(2)^2 = 2$. Точка $(2, 2)$.
• При $x = -2$, $y = \frac{1}{2}(-2)^2 = 2$. Точка $(-2, 2)$.

3. Неравенство строгое ($>$), поэтому точки на параболе не входят в решение. Изобразим параболу штриховой линией.

4. Чтобы определить область решения, можно преобразовать исходное неравенство: $x^2 > 2y \implies y < \frac{1}{2}x^2$. Это означает, что решением являются все точки, лежащие ниже параболы. Проверим это с помощью пробной точки $(2, 0)$, которая находится под параболой:

$(2)^2 - 2(0) > 0$

$4 > 0$

Неравенство истинно. Значит, решением является область под параболой.

Ответ: Решением неравенства является область, расположенная ниже параболы $y = \frac{1}{2}x^2$, не включая саму параболу.