Номер 5.21, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите графически систему уравнений:

5.21 a)

$\begin{cases} x = -1, \\ x^2 + y = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y = 3, \\ x - y + 1 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - y = 3, \\ y = 6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 - y = 4, \\ 2x + y = -1. \end{cases}$

а)

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} x = -1, \\ x^2 + y = 4; \end{cases} $$ Для решения системы графически, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

1. График первого уравнения $x = -1$ — это вертикальная прямая, которая проходит через точку $(-1, 0)$ на оси абсцисс и параллельна оси ординат (оси Oy).

2. Второе уравнение $x^2 + y = 4$ преобразуем к виду $y = -x^2 + 4$. Это уравнение параболы. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(x_v, y_v)$, где $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$, а $y_v = -0^2 + 4 = 4$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, 4)$.

Построив оба графика, мы ищем их точку пересечения. Прямая $x = -1$ пересекает параболу $y = -x^2 + 4$. Чтобы найти координаты точки пересечения, подставим значение $x = -1$ во второе уравнение: $y = -(-1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3$. Следовательно, графики пересекаются в одной точке с координатами $(-1, 3)$.

Ответ: $(-1, 3)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y = 3, \\ x - y + 1 = 0; \end{cases} $$ Построим графики для каждого уравнения.

1. Первое уравнение $x^2 + y = 3$ можно записать в виде $y = -x^2 + 3$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 3)$.

2. Второе уравнение $x - y + 1 = 0$ можно переписать как $y = x + 1$. Это линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек, например, $(0, 1)$ и $(1, 2)$.

Теперь построим оба графика в одной системе координат. Точки, в которых парабола и прямая пересекаются, будут решениями системы. Визуально можно определить две точки пересечения. Для точности найдем их координаты, приравняв правые части уравнений: $-x^2 + 3 = x + 1$ $x^2 + x - 2 = 0$ Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Найдем соответствующие значения $y$: Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1 + 1 = 2$. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 + 1 = -1$. Таким образом, точки пересечения: $(1, 2)$ и $(-2, -1)$.

Ответ: $(1, 2), (-2, -1)$.

в)

Решим графически систему: $$ \begin{cases} x^2 - y = 3, \\ y = 6; \end{cases} $$

1. Преобразуем первое уравнение $x^2 - y = 3$ к виду $y = x^2 - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1). Вершина параболы находится в точке $(0, -3)$.

2. Второе уравнение $y = 6$ задает горизонтальную прямую, параллельную оси Ox и проходящую через точку $(0, 6)$ на оси Oy.

Построим графики параболы и прямой в одной системе координат. Точки их пересечения являются решениями системы. Чтобы найти их координаты, подставим $y = 6$ в уравнение параболы: $6 = x^2 - 3$ $x^2 = 9$ $x_1 = 3$, $x_2 = -3$. Таким образом, мы имеем две точки пересечения с координатами $(3, 6)$ и $(-3, 6)$.

Ответ: $(3, 6), (-3, 6)$.

г)

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y = 4, \\ 2x + y = -1; \end{cases} $$ Для графического решения построим графики обоих уравнений.

1. Первое уравнение $x^2 - y = 4$ преобразуется в $y = x^2 - 4$. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, -4)$.

2. Второе уравнение $2x + y = -1$ преобразуется в $y = -2x - 1$. Это прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=-1$; если $x=1$, то $y=-3$. Точки: $(0, -1)$ и $(1, -3)$.

Построим параболу и прямую в одной координатной плоскости. Точки пересечения их графиков и будут решениями системы. Для нахождения точных координат приравняем выражения для $y$: $x^2 - 4 = -2x - 1$ $x^2 + 2x - 3 = 0$ Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Найдем соответствующие значения $y$: Для $x_1 = 1$, $y_1 = -2(1) - 1 = -3$. Для $x_2 = -3$, $y_2 = -2(-3) - 1 = 6 - 1 = 5$. Следовательно, точки пересечения графиков: $(1, -3)$ и $(-3, 5)$.

Ответ: $(1, -3), (-3, 5)$.