Номер 5.34, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите графически систему уравнений:

5.34 a) $\begin{cases}y - x^2 = 0, \\y = \sqrt{x};\end{cases}$

б) $\begin{cases}x^2 + y^2 = 4, \\y = 0.5x^2 + 2;\end{cases}$

в) $\begin{cases}(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 9, \\y + 1 = x;\end{cases}$

г) $\begin{cases}(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 16, \\x + y = 1.\end{cases}$

а)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y - x^2 = 0 \\ y = \sqrt{x} \end{cases} $

Для графического решения построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

1. Первое уравнение можно переписать в виде $y = x^2$. Графиком этого уравнения является парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх.

2. Графиком второго уравнения $y = \sqrt{x}$ является верхняя ветвь параболы, ось симметрии которой — ось Ox, с вершиной в точке (0, 0). Область определения этой функции $x \ge 0$, поэтому график расположен в I координатной четверти.

Построив оба графика, мы ищем их точки пересечения. Визуально можно определить две точки пересечения.

Первая точка очевидна — это начало координат (0, 0). Подставим её координаты в оба уравнения:
Для $y = x^2$: $0 = 0^2$ (верно).
Для $y = \sqrt{x}$: $0 = \sqrt{0}$ (верно).

Вторая точка пересечения — (1, 1). Подставим её координаты:
Для $y = x^2$: $1 = 1^2$ (верно).
Для $y = \sqrt{x}$: $1 = \sqrt{1}$ (верно).

Таким образом, графики пересекаются в двух точках, которые и являются решениями системы.

Ответ: (0, 0), (1, 1).

б)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = 0,5x^2 + 2 \end{cases} $

1. Первое уравнение $x^2 + y^2 = 4$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

2. Второе уравнение $y = 0,5x^2 + 2$ — это уравнение параболы с вершиной в точке (0, 2) и ветвями, направленными вверх.

Построим графики в одной системе координат. Окружность с центром в (0, 0) и радиусом 2 проходит через точки (2, 0), (-2, 0), (0, 2) и (0, -2). Парабола имеет свою вершину в точке (0, 2).

Заметим, что вершина параболы (0, 2) является самой верхней точкой окружности. Поскольку ветви параболы направлены вверх, все остальные её точки лежат выше $y=2$. Все остальные точки окружности лежат ниже $y=2$. Следовательно, графики имеют только одну общую точку — точку касания.

Эта точка — (0, 2).

Ответ: (0, 2).

в)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 9 \\ y + 1 = x \end{cases} $

1. Первое уравнение $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 9$ — это уравнение окружности. Центр окружности находится в точке (-1, 1), а её радиус $r = \sqrt{9} = 3$.

2. Второе уравнение $y + 1 = x$ можно переписать как $y = x - 1$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом 1 и пересекающей ось OY в точке (0, -1).

Построим окружность и прямую в одной системе координат. Прямая пересекает окружность в двух точках. Чтобы найти их точные координаты, можно определить несколько точек на прямой и проверить, лежат ли они на окружности.

Возьмем точку на прямой при $x = 2$, тогда $y = 2 - 1 = 1$. Получили точку (2, 1). Проверим, лежит ли она на окружности: $(2 + 1)^2 + (1 - 1)^2 = 3^2 + 0^2 = 9$. Верно. Значит, (2, 1) — первая точка пересечения.

Возьмем точку на прямой при $x = -1$, тогда $y = -1 - 1 = -2$. Получили точку (-1, -2). Проверим, лежит ли она на окружности: $(-1 + 1)^2 + (-2 - 1)^2 = 0^2 + (-3)^2 = 9$. Верно. Значит, (-1, -2) — вторая точка пересечения.

Таким образом, решениями системы являются координаты этих двух точек.

Ответ: (2, 1), (-1, -2).

г)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} (x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 16 \\ x + y = 1 \end{cases} $

1. Первое уравнение $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 16$ — это уравнение окружности с центром в точке (1, -4) и радиусом $r = \sqrt{16} = 4$.

2. Второе уравнение $x + y = 1$ можно переписать как $y = 1 - x$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом -1, пересекающей оси координат в точках (1, 0) и (0, 1).

Построим окружность и прямую. Окружность с центром (1, -4) и радиусом 4 проходит, например, через точки $(1+4, -4) = (5, -4)$ и $(1, -4+4)=(1, 0)$. Прямая $y=1-x$ проходит через точку (1,0).

Таким образом, мы сразу видим одну из точек пересечения — (1, 0). Проверим её для обоих уравнений:
Для окружности: $(1 - 1)^2 + (0 + 4)^2 = 0^2 + 4^2 = 16$. Верно.
Для прямой: $1 + 0 = 1$. Верно.

Из графика видно, что есть и вторая точка пересечения. Найдем ее. Из графика видно, что прямая также проходит через точку (5, -4). Проверим ее:
Для окружности: $(5 - 1)^2 + (-4 + 4)^2 = 4^2 + 0^2 = 16$. Верно.
Для прямой: $5 + (-4) = 1$. Верно.

Следовательно, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: (1, 0), (5, -4).