Номер 6.1, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите систему уравнений методом подстановки:

6.1 a)

$$\begin{cases} y = x - 1, \\ x^2 - 2y = 26; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} x = y^2, \\ x + y = 6; \end{cases}$$

В) $$\begin{cases} x = y + 3, \\ y^2 - 2x = 9; \end{cases}$$

Г) $$\begin{cases} y = x^2, \\ x - y = -6. \end{cases}$$

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y = x - 1, \\ x^2 - 2y = 26 \end{cases} $

В первом уравнении переменная $y$ выражена через $x$. Подставим это выражение $(x-1)$ вместо $y$ во второе уравнение системы:

$x^2 - 2(x - 1) = 26$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 2x + 2 = 26$

$x^2 - 2x - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-24$. Легко подобрать корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, используя уравнение $y = x - 1$.

1. Для $x_1 = 6$:
$y_1 = 6 - 1 = 5$

2. Для $x_2 = -4$:
$y_2 = -4 - 1 = -5$

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(6; 5)$ и $(-4; -5)$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x = y^2, \\ x + y = 6 \end{cases} $

Из первого уравнения мы знаем, что $x$ равен $y^2$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$y^2 + y = 6$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 + y - 6 = 0$

Решим это уравнение относительно $y$. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение $-6$. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.

Теперь для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$ по формуле $x = y^2$.

1. Для $y_1 = 2$:
$x_1 = 2^2 = 4$

2. Для $y_2 = -3$:
$x_2 = (-3)^2 = 9$

Получили две пары решений.

Ответ: $(4; 2)$ и $(9; -3)$.

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x = y + 3, \\ y^2 - 2x = 9 \end{cases} $

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$y^2 - 2(y + 3) = 9$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$y^2 - 2y - 6 = 9$

$y^2 - 2y - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $y$. Воспользуемся формулой дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = 5$

$y_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = -3$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$ из уравнения $x = y + 3$.

1. Для $y_1 = 5$:
$x_1 = 5 + 3 = 8$

2. Для $y_2 = -3$:
$x_2 = -3 + 3 = 0$

Система имеет два решения.

Ответ: $(8; 5)$ и $(0; -3)$.

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y = x^2, \\ x - y = -6 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения ($y=x^2$) во второе:

$x - x^2 = -6$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и умножим на $-1$, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$-x^2 + x + 6 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение $-6$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = x^2$.

1. Для $x_1 = 3$:
$y_1 = 3^2 = 9$

2. Для $x_2 = -2$:
$y_2 = (-2)^2 = 4$

Таким образом, найдено два решения системы.

Ответ: $(3; 9)$ и $(-2; 4)$.