Номер 6.8, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6.8 а) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 61, \\ x^2 - y^2 = 11; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 41, \\ 2x^2 + y^2 = 59; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x^2 - 3y^2 = 22, \\ x^2 + 3y^2 = 28; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 14, \\ x^2 + 2y^2 = 18. \end{cases}$

а)Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 61, \\ x^2 - y^2 = 11. \end{cases} $$Для решения этой системы удобно ввести новые переменные. Пусть $a = x^2$ и $b = y^2$. Так как квадраты действительных чисел неотрицательны, то $a \ge 0$ и $b \ge 0$.После замены система примет вид:$$ \begin{cases} a + b = 61, \\ a - b = 11. \end{cases} $$Это система линейных уравнений относительно переменных $a$ и $b$. Сложим первое и второе уравнения:$ (a + b) + (a - b) = 61 + 11 $
$ 2a = 72 $
$ a = 36 $
Теперь подставим найденное значение $a$ в первое уравнение системы:$ 36 + b = 61 $
$ b = 61 - 36 $
$ b = 25 $
Оба значения ($a=36$, $b=25$) удовлетворяют условию неотрицательности. Вернемся к исходным переменным:
$ x^2 = a = 36 \implies x = \pm\sqrt{36} \implies x = \pm6 $.
$ y^2 = b = 25 \implies y = \pm\sqrt{25} \implies y = \pm5 $.
Таким образом, мы получили четыре пары решений, комбинируя знаки для $x$ и $y$.
Ответ: $(6; 5)$, $(6; -5)$, $(-6; 5)$, $(-6; -5)$.

б)Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} 2x^2 - y^2 = 41, \\ 2x^2 + y^2 = 59. \end{cases} $$Введем новые переменные для упрощения системы. Пусть $a = 2x^2$ и $b = y^2$. Учитывая, что $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$, имеем $a \ge 0$, $b \ge 0$.Система преобразуется к виду:$$ \begin{cases} a - b = 41, \\ a + b = 59. \end{cases} $$Сложим два уравнения системы:$ (a - b) + (a + b) = 41 + 59 $
$ 2a = 100 $
$ a = 50 $
Подставим значение $a$ во второе уравнение:$ 50 + b = 59 $
$ b = 59 - 50 $
$ b = 9 $
Вернемся к переменным $x$ и $y$:
$ 2x^2 = a = 50 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm\sqrt{25} \implies x = \pm5 $.
$ y^2 = b = 9 \implies y = \pm\sqrt{9} \implies y = \pm3 $.
Система имеет четыре решения.
Ответ: $(5; 3)$, $(5; -3)$, $(-5; 3)$, $(-5; -3)$.

в)Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} x^2 - 3y^2 = 22, \\ x^2 + 3y^2 = 28. \end{cases} $$Введем замену: пусть $a = x^2$ и $b = 3y^2$. Так как $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$, то $a \ge 0$ и $b \ge 0$.Система уравнений преобразуется к виду:$$ \begin{cases} a - b = 22, \\ a + b = 28. \end{cases} $$Сложим уравнения:$ (a - b) + (a + b) = 22 + 28 $
$ 2a = 50 $
$ a = 25 $
Подставим $a = 25$ во второе уравнение:$ 25 + b = 28 $
$ b = 28 - 25 $
$ b = 3 $
Произведем обратную замену:
$ x^2 = a = 25 \implies x = \pm\sqrt{25} \implies x = \pm5 $.
$ 3y^2 = b = 3 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm\sqrt{1} \implies y = \pm1 $.
Получаем четыре пары решений.
Ответ: $(5; 1)$, $(5; -1)$, $(-5; 1)$, $(-5; -1)$.

г)Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} x^2 - 2y^2 = 14, \\ x^2 + 2y^2 = 18. \end{cases} $$Сделаем замену переменных: пусть $a = x^2$ и $b = 2y^2$. При этом $a \ge 0$ и $b \ge 0$.Получим систему линейных уравнений:$$ \begin{cases} a - b = 14, \\ a + b = 18. \end{cases} $$Сложим два уравнения:$ (a - b) + (a + b) = 14 + 18 $
$ 2a = 32 $
$ a = 16 $
Подставим найденное значение $a$ во второе уравнение:$ 16 + b = 18 $
$ b = 18 - 16 $
$ b = 2 $
Возвращаемся к исходным переменным:
$ x^2 = a = 16 \implies x = \pm\sqrt{16} \implies x = \pm4 $.
$ 2y^2 = b = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm\sqrt{1} \implies y = \pm1 $.
Таким образом, система имеет четыре решения.
Ответ: $(4; 1)$, $(4; -1)$, $(-4; 1)$, $(-4; -1)$.