Номер 6.9, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите систему уравнений методом замены переменных:

6.9 а) $ \begin{cases} x^2y^2 + xy = 2, \\ 2x + y = 3; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3(x - y) - 2(x - y)^2 = -2, \\ 2x + 7y = -5; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 5 \cdot \frac{x}{y} + \left(\frac{x}{y}\right)^2 = 14, \\ 5x + 3y = 13; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 4(x + y)^2 - 7(x + y) = 15, \\ 5x - 2y = 1. \end{cases} $

а) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2y^2 + xy = 2 \\ 2x + y = 3 \end{cases} $
Введем новую переменную $t = xy$. Первое уравнение системы примет вид:
$t^2 + t = 2$
$t^2 + t - 2 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$
$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$
Теперь вернемся к исходным переменным. Получаем два случая:
1) $xy = -2$. С учетом второго уравнения исходной системы $2x + y = 3$, получаем систему:
$ \begin{cases} xy = -2 \\ 2x + y = 3 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 3 - 2x$. Подставим в первое уравнение:
$x(3 - 2x) = -2$
$3x - 2x^2 = -2$
$2x^2 - 3x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{4} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{4} = \frac{3 + 5}{4} = 2$
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = -1/2$, $y_1 = 3 - 2(-1/2) = 3 + 1 = 4$.
При $x_2 = 2$, $y_2 = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$.
Получили две пары решений: $(-1/2, 4)$ и $(2, -1)$.
2) $xy = 1$. С учетом второго уравнения исходной системы $2x + y = 3$, получаем систему:
$ \begin{cases} xy = 1 \\ 2x + y = 3 \end{cases} $
$y = 3 - 2x$. Подставим в первое уравнение:
$x(3 - 2x) = 1$
$3x - 2x^2 = 1$
$2x^2 - 3x + 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$
$x_3 = \frac{3 - \sqrt{1}}{4} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$
$x_4 = \frac{3 + \sqrt{1}}{4} = \frac{3 + 1}{4} = 1$
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_3 = 1/2$, $y_3 = 3 - 2(1/2) = 3 - 1 = 2$.
При $x_4 = 1$, $y_4 = 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1$.
Получили еще две пары решений: $(1/2, 2)$ и $(1, 1)$.
Ответ: $(-1/2, 4)$, $(2, -1)$, $(1/2, 2)$, $(1, 1)$.

б) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3(x - y) - 2(x - y)^2 = -2 \\ 2x + 7y = -5 \end{cases} $
Введем новую переменную $t = x - y$. Первое уравнение системы примет вид:
$3t - 2t^2 = -2$
$2t^2 - 3t - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$
$t_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{4} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{4} = \frac{3 + 5}{4} = 2$
Возвращаемся к исходным переменным. Получаем два случая:
1) $x - y = -1/2$. Составим систему со вторым уравнением:
$ \begin{cases} x - y = -1/2 \\ 2x + 7y = -5 \end{cases} $
Из первого уравнения $x = y - 1/2$. Подставим во второе:
$2(y - 1/2) + 7y = -5$
$2y - 1 + 7y = -5$
$9y = -4 \Rightarrow y = -4/9$
$x = -4/9 - 1/2 = -8/18 - 9/18 = -17/18$.
Решение: $(-17/18, -4/9)$.
2) $x - y = 2$. Составим систему со вторым уравнением:
$ \begin{cases} x - y = 2 \\ 2x + 7y = -5 \end{cases} $
Из первого уравнения $x = y + 2$. Подставим во второе:
$2(y + 2) + 7y = -5$
$2y + 4 + 7y = -5$
$9y = -9 \Rightarrow y = -1$
$x = -1 + 2 = 1$.
Решение: $(1, -1)$.
Ответ: $(-17/18, -4/9)$, $(1, -1)$.

в) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 5 \cdot \frac{x}{y} + (\frac{x}{y})^2 = 14 \\ 5x + 3y = 13 \end{cases} $
ОДЗ: $y \ne 0$. Введем новую переменную $t = \frac{x}{y}$. Первое уравнение примет вид:
$5t + t^2 = 14$
$t^2 + 5t - 14 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$
$t_1 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 - 9}{2} = -7$
$t_2 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2$
Возвращаемся к исходным переменным. Получаем два случая:
1) $x/y = -7 \Rightarrow x = -7y$. Подставим во второе уравнение системы:
$5(-7y) + 3y = 13$
$-35y + 3y = 13$
$-32y = 13 \Rightarrow y = -13/32$
$x = -7(-13/32) = 91/32$.
Решение: $(91/32, -13/32)$.
2) $x/y = 2 \Rightarrow x = 2y$. Подставим во второе уравнение системы:
$5(2y) + 3y = 13$
$10y + 3y = 13$
$13y = 13 \Rightarrow y = 1$
$x = 2(1) = 2$.
Решение: $(2, 1)$.
Ответ: $(91/32, -13/32)$, $(2, 1)$.

г) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 4(x + y)^2 - 7(x + y) = 15 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases} $
Введем новую переменную $t = x + y$. Первое уравнение примет вид:
$4t^2 - 7t = 15$
$4t^2 - 7t - 15 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 49 + 240 = 289$
$t_1 = \frac{7 - \sqrt{289}}{8} = \frac{7 - 17}{8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}$
$t_2 = \frac{7 + \sqrt{289}}{8} = \frac{7 + 17}{8} = \frac{24}{8} = 3$
Возвращаемся к исходным переменным. Получаем два случая:
1) $x + y = -5/4$. Составим систему со вторым уравнением:
$ \begin{cases} x + y = -5/4 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases} $
Из первого уравнения $y = -x - 5/4$. Подставим во второе:
$5x - 2(-x - 5/4) = 1$
$5x + 2x + 5/2 = 1$
$7x = 1 - 5/2 = -3/2 \Rightarrow x = -3/14$
$y = -(-3/14) - 5/4 = 3/14 - 5/4 = 6/28 - 35/28 = -29/28$.
Решение: $(-3/14, -29/28)$.
2) $x + y = 3$. Составим систему со вторым уравнением:
$ \begin{cases} x + y = 3 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases} $
Из первого уравнения $y = 3 - x$. Подставим во второе:
$5x - 2(3 - x) = 1$
$5x - 6 + 2x = 1$
$7x = 7 \Rightarrow x = 1$
$y = 3 - 1 = 2$.
Решение: $(1, 2)$.
Ответ: $(-3/14, -29/28)$, $(1, 2)$.