Номер 6.10, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6.10 a) $\begin{cases} xy(x + y) = 6, \\ xy + (x + y) = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3(x - y)^2 + 2(x + 2y)^2 = 5, \\ 2(x + 2y) - x + y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5(x + y) + 4xy = 32, \\ xy(x + y) = 12; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2(x + y)^2 + 3(x + 2y) = 5, \\ 3(x + 2y) - 2x - 2y = 5. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} xy(x + y) = 6, \\ xy + (x + y) = 5; \end{cases}$

Для решения этой системы введем замену переменных. Пусть $u = xy$ и $v = x + y$.

Тогда система примет вид:

$\begin{cases} uv = 6, \\ u + v = 5. \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Найдем корни этого уравнения, разложив его на множители:

$t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3) = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Это дает нам две возможные системы для $u$ и $v$:

1) $u = 2, v = 3$

2) $u = 3, v = 2$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $u = 2, v = 3$.

Возвращаемся к исходным переменным: $xy = 2$ и $x + y = 3$.

Снова применяя обратную теорему Виета, находим, что $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 3z + 2 = 0$.

Разложим на множители: $(z - 1)(z - 2) = 0$.

Корни: $z_1 = 1$, $z_2 = 2$.

Следовательно, решениями являются пары чисел $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Случай 2: $u = 3, v = 2$.

Возвращаемся к исходным переменным: $xy = 3$ и $x + y = 2$.

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 2z + 3 = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственными действительными решениями исходной системы являются пары, найденные в первом случае.

Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3(x - y)^2 + 2(x + 2y)^2 = 5, \\ 2(x + 2y) - x + y = 1; \end{cases}$

Введем замену переменных для упрощения системы: пусть $u = x - y$ и $v = x + 2y$.

Первое уравнение принимает вид: $3u^2 + 2v^2 = 5$.

Преобразуем второе уравнение. Раскроем скобки: $2x + 4y - x + y = 1$, что упрощается до $x + 5y = 1$.

Теперь выразим $x$ и $y$ через $u$ и $v$. Из системы $\begin{cases} x - y = u \\ x + 2y = v \end{cases}$ вычтем первое уравнение из второго: $(x+2y) - (x-y) = v-u$, что дает $3y = v-u$, или $y = \frac{v-u}{3}$.

Подставим $y$ в первое уравнение замены: $x = u+y = u + \frac{v-u}{3} = \frac{3u+v-u}{3} = \frac{2u+v}{3}$.

Подставим эти выражения для $x$ и $y$ в упрощенное второе уравнение $x+5y=1$:

$\frac{2u+v}{3} + 5\left(\frac{v-u}{3}\right) = 1$.

Умножим обе части на 3: $2u+v + 5(v-u) = 3$.

$2u+v+5v-5u=3 \implies 6v-3u=3 \implies 2v-u=1$.

Из последнего уравнения выразим $u$: $u = 2v - 1$.

Теперь у нас есть система уравнений для $u$ и $v$:

$\begin{cases} 3u^2 + 2v^2 = 5, \\ u = 2v - 1. \end{cases}$

Подставим выражение для $u$ в первое уравнение:

$3(2v-1)^2 + 2v^2 = 5$

$3(4v^2 - 4v + 1) + 2v^2 = 5$

$12v^2 - 12v + 3 + 2v^2 = 5$

$14v^2 - 12v - 2 = 0$

Разделим на 2: $7v^2 - 6v - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти по формуле или разложением на множители: $(7v+1)(v-1)=0$.

Корни: $v_1 = 1$, $v_2 = -1/7$.

Найдем соответствующие значения $u$:

Если $v_1 = 1$, то $u_1 = 2(1) - 1 = 1$.

Если $v_2 = -1/7$, то $u_2 = 2(-1/7) - 1 = -2/7 - 7/7 = -9/7$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

Случай 1: $u = 1, v = 1$.

$\begin{cases} x - y = 1 \\ x + 2y = 1 \end{cases}$. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $3y=0 \implies y=0$. Подставив $y=0$ в первое уравнение, находим $x=1$. Решение: $(1, 0)$.

Случай 2: $u = -9/7, v = -1/7$.

$\begin{cases} x - y = -9/7 \\ x + 2y = -1/7 \end{cases}$. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $3y = -1/7 - (-9/7) = 8/7 \implies y=8/21$. Подставив $y=8/21$ в первое уравнение: $x - 8/21 = -9/7 \implies x = 8/21 - 27/21 = -19/21$. Решение: $(-19/21, 8/21)$.

Ответ: $(1, 0), (-19/21, 8/21)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5(x + y) + 4xy = 32, \\ xy(x + y) = 12; \end{cases}$

Эта система симметрична относительно $x$ и $y$. Введем замену переменных: $u = xy$ и $v = x + y$.

Система примет вид:

$\begin{cases} 5v + 4u = 32, \\ uv = 12. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $u$ через $v$: $u = 12/v$ (заметим, что $v \neq 0$, иначе $0=12$, что неверно).

Подставим это выражение в первое уравнение:

$5v + 4(12/v) = 32$

$5v + 48/v = 32$

Умножим обе части уравнения на $v$:

$5v^2 + 48 = 32v$

$5v^2 - 32v + 48 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $v$ с помощью формулы корней:

$v = \frac{-(-32) \pm \sqrt{(-32)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 48}}{2 \cdot 5} = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 960}}{10} = \frac{32 \pm \sqrt{64}}{10} = \frac{32 \pm 8}{10}$.

Получаем два корня для $v$:

$v_1 = \frac{32 + 8}{10} = \frac{40}{10} = 4$.

$v_2 = \frac{32 - 8}{10} = \frac{24}{10} = 12/5$.

Найдем соответствующие значения $u$:

Если $v_1 = 4$, то $u_1 = 12/4 = 3$.

Если $v_2 = 12/5$, то $u_2 = 12 / (12/5) = 5$.

Теперь вернемся к исходным переменным.

Случай 1: $u = 3, v = 4$.

$xy = 3$ и $x + y = 4$.

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 4z + 3 = 0$.

$(z-1)(z-3)=0$, откуда $z_1 = 1, z_2 = 3$.

Решения: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Случай 2: $u = 5, v = 12/5$.

$xy = 5$ и $x + y = 12/5$.

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (12/5)z + 5 = 0$.

Умножим на 5, чтобы избавиться от дроби: $5z^2 - 12z + 25 = 0$.

Дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 25 = 144 - 500 = -356$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(1, 3), (3, 1)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2(x + y)^2 + 3(x + 2y) = 5, \\ 3(x + 2y) - 2x - 2y = 5. \end{cases}$

Упростим второе уравнение, вынеся -2 за скобки: $3(x + 2y) - 2(x + y) = 5$.

Теперь система выглядит более структурированной. Введем замену переменных: $u = x + y$ и $v = x + 2y$.

Система в новых переменных:

$\begin{cases} 2u^2 + 3v = 5, \\ 3v - 2u = 5. \end{cases}$

Из второго уравнения видим, что $3v = 5 + 2u$.

Подставим это выражение для $3v$ в первое уравнение:

$2u^2 + (5 + 2u) = 5$

$2u^2 + 2u = 0$

$2u(u + 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $u$:

$u_1 = 0$, $u_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $v$ из соотношения $3v = 5 + 2u$.

Если $u_1 = 0$, то $3v = 5 + 2(0) = 5 \implies v_1 = 5/3$.

Если $u_2 = -1$, то $3v = 5 + 2(-1) = 3 \implies v_2 = 1$.

Теперь решим две системы для $x$ и $y$.

Случай 1: $u = 0, v = 5/3$.

$\begin{cases} x + y = 0 \\ x + 2y = 5/3 \end{cases}$.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $y = 5/3$.

Из первого уравнения $x = -y$, следовательно $x = -5/3$.

Решение: $(-5/3, 5/3)$.

Случай 2: $u = -1, v = 1$.

$\begin{cases} x + y = -1 \\ x + 2y = 1 \end{cases}$.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $y = 1 - (-1) = 2$.

Из первого уравнения $x = -1 - y = -1 - 2 = -3$.

Решение: $(-3, 2)$.

Ответ: $(-5/3, 5/3), (-3, 2)$.