Номер 6.14, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6.14 a) $\begin{cases} x^2 - 2y = 3, \\ x^2y = 27; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y = 10, \\ x^4 + x^2y = 90; \end{cases}$

B) $\begin{cases} x + y^2 = 2, \\ 2y^2 + x^2 = 3; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x^2 + y^4 = 5, \\ xy^2 = 2. \end{cases}$

а) $$ \begin{cases} x^2 - 2y = 3, \\ x^2y = 27; \end{cases} $$ Из второго уравнения системы выразим $x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y$ должен быть положительным ($y > 0$).
$x^2 = \frac{27}{y}$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$\frac{27}{y} - 2y = 3$
Умножим обе части уравнения на $y$ (так как $y \neq 0$):
$27 - 2y^2 = 3y$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$2y^2 + 3y - 27 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225 = 15^2$
$y_1 = \frac{-3 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-18}{4} = -4.5$
$y_2 = \frac{-3 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
Так как мы установили, что $y > 0$, корень $y_1 = -4.5$ является посторонним.
Рассмотрим $y = 3$. Найдем соответствующие значения $x$:
$x^2 = \frac{27}{3} = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(3; 3), (-3; 3)$.

б) $$ \begin{cases} x^2 + y = 10, \\ x^4 + x^2y = 90; \end{cases} $$ Во втором уравнении вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 + y) = 90$
Из первого уравнения известно, что $x^2 + y = 10$. Подставим это значение во второе уравнение:
$x^2 \cdot 10 = 90$
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя первое уравнение $y = 10 - x^2$:
$y = 10 - 9 = 1$.
Значение $y$ одинаково для обоих значений $x$.
Ответ: $(3; 1), (-3; 1)$.

в) $$ \begin{cases} x + y^2 = 2, \\ 2y^2 + x^2 = 3; \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $y^2$:
$y^2 = 2 - x$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(2 - x) + x^2 = 3$
$4 - 2x + x^2 = 3$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
Это уравнение является полным квадратом:
$(x - 1)^2 = 0$
Отсюда $x = 1$.
Теперь найдем $y$. Подставим значение $x$ в выражение для $y^2$:
$y^2 = 2 - 1 = 1$
$y_1 = 1$, $y_2 = -1$.
Получаем два решения.
Ответ: $(1; 1), (1; -1)$.

г) $$ \begin{cases} x^2 + y^4 = 5, \\ xy^2 = 2; \end{cases} $$ Из второго уравнения видно, что $x$ и $y$ не могут быть равны нулю. Выразим $y^2$:
$y^2 = \frac{2}{x}$
Так как $y^2 \ge 0$, то и $\frac{2}{x} > 0$, что означает $x > 0$.
Подставим выражение для $y^2$ в первое уравнение, предварительно представив его как $x^2 + (y^2)^2 = 5$:
$x^2 + (\frac{2}{x})^2 = 5$
$x^2 + \frac{4}{x^2} = 5$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x > 0$, то $t > 0$.
$t + \frac{4}{t} = 5$
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):
$t^2 + 4 = 5t$
$t^2 - 5t + 4 = 0$
По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t>0$.
Вернемся к переменной $x$:
1) $x^2 = 1$. Так как $x > 0$, то $x = 1$.
Тогда $y^2 = \frac{2}{1} = 2$, откуда $y = \pm\sqrt{2}$.
Получаем два решения: $(1; \sqrt{2})$ и $(1; -\sqrt{2})$.
2) $x^2 = 4$. Так как $x > 0$, то $x = 2$.
Тогда $y^2 = \frac{2}{2} = 1$, откуда $y = \pm 1$.
Получаем еще два решения: $(2; 1)$ и $(2; -1)$.
Всего система имеет четыре решения.
Ответ: $(1; \sqrt{2}), (1; -\sqrt{2}), (2; 1), (2; -1)$.