Номер 6.17, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6.17 а) $\begin{cases}x^2 - 3x - 2y = 4, \\x^2 + x - 3y = 18;\end{cases}$

б) $\begin{cases}xy + x = 56, \\xy + y = 54;\end{cases}$

в) $\begin{cases}x^2 + 2x + 3y = 3, \\x^2 + x + 2y = 4;\end{cases}$

г) $\begin{cases}3x - xy = 10, \\y + xy = 6.\end{cases}$

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 3x - 2y = 4 \\ x^2 + x - 3y = 18 \end{cases} $
Для решения вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам исключить член $x^2$.
$(x^2 + x - 3y) - (x^2 - 3x - 2y) = 18 - 4$
$x^2 + x - 3y - x^2 + 3x + 2y = 14$
$4x - y = 14$
Из этого линейного уравнения выразим $y$:
$y = 4x - 14$
Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое исходное уравнение:
$x^2 - 3x - 2(4x - 14) = 4$
$x^2 - 3x - 8x + 28 = 4$
$x^2 - 11x + 24 = 0$
Мы получили квадратное уравнение. Решим его, найдя корни. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:
$x_1 = 3$, $x_2 = 8$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 4(3) - 14 = 12 - 14 = -2$.
Если $x_2 = 8$, то $y_2 = 4(8) - 14 = 32 - 14 = 18$.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3, -2)$, $(8, 18)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} xy + x = 56 \\ xy + y = 54 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить член $xy$:
$(xy + x) - (xy + y) = 56 - 54$
$x - y = 2$
Выразим $x$ через $y$:
$x = y + 2$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(y + 2)y + y = 54$
$y^2 + 2y + y = 54$
$y^2 + 3y - 54 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни:
$y_1 = 6$, $y_2 = -9$
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 6$, то $x_1 = 6 + 2 = 8$.
Если $y_2 = -9$, то $x_2 = -9 + 2 = -7$.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(8, 6)$, $(-7, -9)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + 2x + 3y = 3 \\ x^2 + x + 2y = 4 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить член $x^2$:
$(x^2 + 2x + 3y) - (x^2 + x + 2y) = 3 - 4$
$x + y = -1$
Выразим $y$ через $x$:
$y = -x - 1$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$x^2 + x + 2(-x - 1) = 4$
$x^2 + x - 2x - 2 = 4$
$x^2 - x - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни:
$x_1 = 3$, $x_2 = -2$
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = -3 - 1 = -4$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -(-2) - 1 = 2 - 1 = 1$.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3, -4)$, $(-2, 1)$.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - xy = 10 \\ y + xy = 6 \end{cases} $
Сложим оба уравнения, чтобы исключить член $xy$:
$(3x - xy) + (y + xy) = 10 + 6$
$3x + y = 16$
Выразим $y$ через $x$:
$y = 16 - 3x$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(16 - 3x) + x(16 - 3x) = 6$
$16 - 3x + 16x - 3x^2 = 6$
$-3x^2 + 13x + 16 - 6 = 0$
$-3x^2 + 13x + 10 = 0$
Умножим обе части на -1 для удобства:
$3x^2 - 13x - 10 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-13)^2 - 4(3)(-10) = 169 + 120 = 289 = 17^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 17}{2 \cdot 3}$
$x_1 = \frac{13 + 17}{6} = \frac{30}{6} = 5$
$x_2 = \frac{13 - 17}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 5$, то $y_1 = 16 - 3(5) = 16 - 15 = 1$.
Если $x_2 = -\frac{2}{3}$, то $y_2 = 16 - 3(-\frac{2}{3}) = 16 + 2 = 18$.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(5, 1)$, $(-\frac{2}{3}, 18)$.