Номер 6.23, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6.23 a) $ \begin{cases} \frac{5}{x^2 - xy} + \frac{4}{y^2 - xy} = -\frac{1}{6}, \\ \frac{7}{x^2 - xy} - \frac{3}{y^2 - xy} = \frac{6}{5}; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \frac{4}{x + y - 1} - \frac{5}{2x - y + 3} + \frac{5}{2} = 0, \\ \frac{3}{x + y - 1} + \frac{1}{2x - y + 3} + \frac{7}{5} = 0. \end{cases} $

а) Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{5}{x^2 - xy} + \frac{4}{y^2 - xy} = -\frac{1}{6} \\ \frac{7}{x^2 - xy} - \frac{3}{y^2 - xy} = \frac{6}{5} \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x^2 - xy \neq 0$ и $y^2 - xy \neq 0$. Это означает, что $x(x-y) \neq 0$ и $y(y-x) \neq 0$, то есть $x \neq 0$, $y \neq 0$ и $x \neq y$.

Преобразуем знаменатели дробей во втором слагаемом каждого уравнения: $y^2 - xy = -xy + y^2 = y(y-x) = -y(x-y)$.

Подставим это в систему:

$$ \begin{cases} \frac{5}{x(x - y)} + \frac{4}{-y(x - y)} = -\frac{1}{6} \\ \frac{7}{x(x - y)} - \frac{3}{-y(x - y)} = \frac{6}{5} \end{cases} $$

Упростим систему:

$$ \begin{cases} \frac{5}{x(x - y)} - \frac{4}{y(x - y)} = -\frac{1}{6} \\ \frac{7}{x(x - y)} + \frac{3}{y(x - y)} = \frac{6}{5} \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x(x - y)}$ и $v = \frac{1}{y(x - y)}$.

Система примет вид:

$$ \begin{cases} 5u - 4v = -\frac{1}{6} \\ 7u + 3v = \frac{6}{5} \end{cases} $$

Решим эту систему линейных уравнений. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 4, чтобы исключить переменную $v$:

$$ \begin{cases} 15u - 12v = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2} \\ 28u + 12v = \frac{24}{5} \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$15u - 12v + 28u + 12v = -\frac{1}{2} + \frac{24}{5}$

$43u = \frac{-5 + 48}{10} = \frac{43}{10}$

$u = \frac{1}{10}$

Подставим найденное значение $u$ во второе уравнение исходной системы для новых переменных $7u + 3v = \frac{6}{5}$:

$7\left(\frac{1}{10}\right) + 3v = \frac{6}{5}$

$\frac{7}{10} + 3v = \frac{12}{10}$

$3v = \frac{12}{10} - \frac{7}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

$v = \frac{1}{6}$

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} u = \frac{1}{x(x - y)} = \frac{1}{10} \implies x(x - y) = 10 \\ v = \frac{1}{y(x - y)} = \frac{1}{6} \implies y(x - y) = 6 \end{cases} $$

Так как $y(x-y) = 6 \neq 0$, мы можем разделить первое уравнение на второе:

$\frac{x(x - y)}{y(x - y)} = \frac{10}{6}$

$\frac{x}{y} = \frac{5}{3} \implies x = \frac{5}{3}y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы $y(x - y) = 6$:

$y\left(\frac{5}{3}y - y\right) = 6$

$y\left(\frac{2}{3}y\right) = 6$

$\frac{2}{3}y^2 = 6$

$y^2 = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$

$y = \pm 3$

1. Если $y = 3$, то $x = \frac{5}{3}(3) = 5$. Получаем пару $(5, 3)$.

2. Если $y = -3$, то $x = \frac{5}{3}(-3) = -5$. Получаем пару $(-5, -3)$.

Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(5, 3), (-5, -3)$.

б) Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{4}{x+y-1} - \frac{5}{2x-y+3} + \frac{5}{2} = 0 \\ \frac{3}{x+y-1} + \frac{1}{2x-y+3} + \frac{7}{5} = 0 \end{cases} $$

ОДЗ: $x+y-1 \neq 0$ и $2x-y+3 \neq 0$.

Перенесем свободные члены в правую часть уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{4}{x+y-1} - \frac{5}{2x-y+3} = -\frac{5}{2} \\ \frac{3}{x+y-1} + \frac{1}{2x-y+3} = -\frac{7}{5} \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x+y-1}$ и $b = \frac{1}{2x-y+3}$.

Система примет вид:

$$ \begin{cases} 4a - 5b = -\frac{5}{2} \\ 3a + b = -\frac{7}{5} \end{cases} $$

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $b$:

$b = -\frac{7}{5} - 3a$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$4a - 5\left(-\frac{7}{5} - 3a\right) = -\frac{5}{2}$

$4a + 7 + 15a = -\frac{5}{2}$

$19a = -\frac{5}{2} - 7$

$19a = -\frac{5}{2} - \frac{14}{2} = -\frac{19}{2}$

$a = -\frac{1}{2}$

Теперь найдем $b$:

$b = -\frac{7}{5} - 3\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{7}{5} + \frac{3}{2} = \frac{-14+15}{10} = \frac{1}{10}$

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} a = \frac{1}{x+y-1} = -\frac{1}{2} \implies x+y-1 = -2 \\ b = \frac{1}{2x-y+3} = \frac{1}{10} \implies 2x-y+3 = 10 \end{cases} $$

Получаем систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x+y = -1 \\ 2x-y = 7 \end{cases} $$

Сложим два уравнения, чтобы найти $x$:

$(x+y) + (2x-y) = -1 + 7$

$3x = 6$

$x = 2$

Подставим $x=2$ в первое уравнение $x+y = -1$:

$2 + y = -1$

$y = -3$

Решение системы - пара $(2, -3)$. Проверим ОДЗ: $x+y-1 = 2-3-1 = -2 \neq 0$; $2x-y+3 = 2(2)-(-3)+3 = 4+3+3 = 10 \neq 0$.

Ответ: $(2, -3)$.