Номер 7.2, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.2 Сумма двух чисел равна 46, а сумма их квадратов равна 1130. Найдите эти числа.

7.2

Обозначим искомые числа через $x$ и $y$.

Исходя из условия задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Сумма двух чисел равна 46: $x + y = 46$

2. Сумма их квадратов равна 1130: $x^2 + y^2 = 1130$

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 46 \\ x^2 + y^2 = 1130 \end{cases} $

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 46 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$x^2 + (46 - x)^2 = 1130$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + 46^2 - 2 \cdot 46 \cdot x + x^2 = 1130$

$x^2 + 2116 - 92x + x^2 = 1130$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - 92x + 2116 - 1130 = 0$

$2x^2 - 92x + 986 = 0$

Для удобства разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 46x + 493 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 493 = 2116 - 1972 = 144$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{46 + 12}{2} = \frac{58}{2} = 29$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{46 - 12}{2} = \frac{34}{2} = 17$

Мы нашли возможные значения для одного из чисел. Теперь найдем второе число для каждого случая, используя выражение $y = 46 - x$:

1. Если $x_1 = 29$, то $y_1 = 46 - 29 = 17$.

2. Если $x_2 = 17$, то $y_2 = 46 - 17 = 29$.

В обоих случаях мы получили пару чисел 17 и 29.

Сделаем проверку:

Сумма чисел: $17 + 29 = 46$.

Сумма их квадратов: $17^2 + 29^2 = 289 + 841 = 1130$.

Оба условия задачи выполнены.

Ответ: 17 и 29.