Номер 7.3, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.3 Разность двух натуральных чисел равна 24, а их произведение равно 481. Найдите эти числа.

Пусть искомые натуральные числа — это $x$ и $y$. Поскольку числа натуральные, они должны быть положительными целыми числами.

Согласно условию задачи, их разность равна 24. Запишем это в виде уравнения. Предположим, что $x$ — большее число, тогда:

$x - y = 24$

Их произведение равно 481. Запишем второе уравнение:

$x \cdot y = 481$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$$ \begin{cases} x - y = 24 \\ x \cdot y = 481 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 24$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(y + 24) \cdot y = 481$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 + 24y = 481$

$y^2 + 24y - 481 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=24$, $c=-481$.

$D = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-481) = 576 + 1924 = 2500$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-24 + \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{-24 + 50}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$y_2 = \frac{-24 - \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{-24 - 50}{2} = \frac{-74}{2} = -37$

По условию, числа являются натуральными, поэтому корень $y_2 = -37$ не является решением задачи. Следовательно, одно из чисел равно 13.

Теперь найдем второе число $x$, подставив значение $y=13$ в выражение $x = y + 24$:

$x = 13 + 24 = 37$

Таким образом, искомые числа — это 13 и 37.

Выполним проверку: разность чисел $37 - 13 = 24$, произведение чисел $37 \cdot 13 = 481$. Оба условия задачи выполнены.

Ответ: 13 и 37.