Номер 7.4, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.4 Разность двух натуральных чисел равна 16, а произведение на 553 меньше суммы их квадратов. Найдите эти числа.

7.4

Пусть искомые натуральные числа — это $x$ и $y$. Для определенности предположим, что $x > y$.

Из условия задачи следует, что разность этих чисел равна 16. Это можно записать в виде уравнения:

$x - y = 16$

Второе условие гласит, что их произведение на 553 меньше суммы их квадратов. Это означает, что сумма квадратов больше произведения на 553. Запишем это в виде второго уравнения:

$x^2 + y^2 - xy = 553$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x - y = 16 \\ x^2 + y^2 - xy = 553 \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение системы. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Выражение $x^2 + y^2 - xy$ можно представить как $(x^2 - 2xy + y^2) + xy$, что равно $(x-y)^2 + xy$.

Тогда второе уравнение примет вид:

$(x-y)^2 + xy = 553$

Теперь подставим в это уравнение значение $x-y$ из первого уравнения системы:

$16^2 + xy = 553$

$256 + xy = 553$

Отсюда найдем произведение чисел $x$ и $y$:

$xy = 553 - 256$

$xy = 297$

Теперь наша система уравнений стала проще:

$ \begin{cases} x - y = 16 \\ xy = 297 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 16 + y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(16 + y)y = 297$

$16y + y^2 = 297$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 + 16y - 297 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-297) = 256 + 1188 = 1444$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1444} = 38$.

Теперь найдем значения $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 + 38}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 - 38}{2} = \frac{-54}{2} = -27$

По условию задачи, числа должны быть натуральными, поэтому отрицательный корень $y_2 = -27$ не является решением.

Таким образом, мы нашли одно из чисел: $y = 11$.

Найдем второе число $x$, используя уравнение $x = 16 + y$:

$x = 16 + 11 = 27$

Искомые числа — 27 и 11.

Проведем проверку:

1. Разность чисел: $27 - 11 = 16$. Условие выполнено.

2. Произведение: $27 \cdot 11 = 297$. Сумма квадратов: $27^2 + 11^2 = 729 + 121 = 850$. Разность между суммой квадратов и произведением: $850 - 297 = 553$. Условие выполнено.

Ответ: 27 и 11.