Страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

6.23 a) $ \begin{cases} \frac{5}{x^2 - xy} + \frac{4}{y^2 - xy} = -\frac{1}{6}, \\ \frac{7}{x^2 - xy} - \frac{3}{y^2 - xy} = \frac{6}{5}; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \frac{4}{x + y - 1} - \frac{5}{2x - y + 3} + \frac{5}{2} = 0, \\ \frac{3}{x + y - 1} + \frac{1}{2x - y + 3} + \frac{7}{5} = 0. \end{cases} $

а) Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{5}{x^2 - xy} + \frac{4}{y^2 - xy} = -\frac{1}{6} \\ \frac{7}{x^2 - xy} - \frac{3}{y^2 - xy} = \frac{6}{5} \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x^2 - xy \neq 0$ и $y^2 - xy \neq 0$. Это означает, что $x(x-y) \neq 0$ и $y(y-x) \neq 0$, то есть $x \neq 0$, $y \neq 0$ и $x \neq y$.

Преобразуем знаменатели дробей во втором слагаемом каждого уравнения: $y^2 - xy = -xy + y^2 = y(y-x) = -y(x-y)$.

Подставим это в систему:

$$ \begin{cases} \frac{5}{x(x - y)} + \frac{4}{-y(x - y)} = -\frac{1}{6} \\ \frac{7}{x(x - y)} - \frac{3}{-y(x - y)} = \frac{6}{5} \end{cases} $$

Упростим систему:

$$ \begin{cases} \frac{5}{x(x - y)} - \frac{4}{y(x - y)} = -\frac{1}{6} \\ \frac{7}{x(x - y)} + \frac{3}{y(x - y)} = \frac{6}{5} \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x(x - y)}$ и $v = \frac{1}{y(x - y)}$.

Система примет вид:

$$ \begin{cases} 5u - 4v = -\frac{1}{6} \\ 7u + 3v = \frac{6}{5} \end{cases} $$

Решим эту систему линейных уравнений. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 4, чтобы исключить переменную $v$:

$$ \begin{cases} 15u - 12v = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2} \\ 28u + 12v = \frac{24}{5} \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$15u - 12v + 28u + 12v = -\frac{1}{2} + \frac{24}{5}$

$43u = \frac{-5 + 48}{10} = \frac{43}{10}$

$u = \frac{1}{10}$

Подставим найденное значение $u$ во второе уравнение исходной системы для новых переменных $7u + 3v = \frac{6}{5}$:

$7\left(\frac{1}{10}\right) + 3v = \frac{6}{5}$

$\frac{7}{10} + 3v = \frac{12}{10}$

$3v = \frac{12}{10} - \frac{7}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

$v = \frac{1}{6}$

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} u = \frac{1}{x(x - y)} = \frac{1}{10} \implies x(x - y) = 10 \\ v = \frac{1}{y(x - y)} = \frac{1}{6} \implies y(x - y) = 6 \end{cases} $$

Так как $y(x-y) = 6 \neq 0$, мы можем разделить первое уравнение на второе:

$\frac{x(x - y)}{y(x - y)} = \frac{10}{6}$

$\frac{x}{y} = \frac{5}{3} \implies x = \frac{5}{3}y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы $y(x - y) = 6$:

$y\left(\frac{5}{3}y - y\right) = 6$

$y\left(\frac{2}{3}y\right) = 6$

$\frac{2}{3}y^2 = 6$

$y^2 = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$

$y = \pm 3$

1. Если $y = 3$, то $x = \frac{5}{3}(3) = 5$. Получаем пару $(5, 3)$.

2. Если $y = -3$, то $x = \frac{5}{3}(-3) = -5$. Получаем пару $(-5, -3)$.

Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(5, 3), (-5, -3)$.

б) Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{4}{x+y-1} - \frac{5}{2x-y+3} + \frac{5}{2} = 0 \\ \frac{3}{x+y-1} + \frac{1}{2x-y+3} + \frac{7}{5} = 0 \end{cases} $$

ОДЗ: $x+y-1 \neq 0$ и $2x-y+3 \neq 0$.

Перенесем свободные члены в правую часть уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{4}{x+y-1} - \frac{5}{2x-y+3} = -\frac{5}{2} \\ \frac{3}{x+y-1} + \frac{1}{2x-y+3} = -\frac{7}{5} \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x+y-1}$ и $b = \frac{1}{2x-y+3}$.

Система примет вид:

$$ \begin{cases} 4a - 5b = -\frac{5}{2} \\ 3a + b = -\frac{7}{5} \end{cases} $$

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $b$:

$b = -\frac{7}{5} - 3a$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$4a - 5\left(-\frac{7}{5} - 3a\right) = -\frac{5}{2}$

$4a + 7 + 15a = -\frac{5}{2}$

$19a = -\frac{5}{2} - 7$

$19a = -\frac{5}{2} - \frac{14}{2} = -\frac{19}{2}$

$a = -\frac{1}{2}$

Теперь найдем $b$:

$b = -\frac{7}{5} - 3\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{7}{5} + \frac{3}{2} = \frac{-14+15}{10} = \frac{1}{10}$

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} a = \frac{1}{x+y-1} = -\frac{1}{2} \implies x+y-1 = -2 \\ b = \frac{1}{2x-y+3} = \frac{1}{10} \implies 2x-y+3 = 10 \end{cases} $$

Получаем систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x+y = -1 \\ 2x-y = 7 \end{cases} $$

Сложим два уравнения, чтобы найти $x$:

$(x+y) + (2x-y) = -1 + 7$

$3x = 6$

$x = 2$

Подставим $x=2$ в первое уравнение $x+y = -1$:

$2 + y = -1$

$y = -3$

Решение системы - пара $(2, -3)$. Проверим ОДЗ: $x+y-1 = 2-3-1 = -2 \neq 0$; $2x-y+3 = 2(2)-(-3)+3 = 4+3+3 = 10 \neq 0$.

Ответ: $(2, -3)$.

6.24 Составьте уравнение окружности, проходящей через точки:

a) $A(3; 13)$, $B(-7; -11)$, $C(10; 6);

б) $A(7; -7)$, $B(-2; -4)$, $C(6; 0).

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Поскольку все три заданные точки лежат на окружности, они находятся на одинаковом расстоянии от её центра. Если обозначить центр окружности как $O(a; b)$, то квадраты расстояний от центра до каждой из точек равны квадрату радиуса: $OA^2 = OB^2 = OC^2 = R^2$. Это позволяет составить систему уравнений для нахождения координат центра $(a; b)$.

а) Даны точки $A(3; 13)$, $B(-7; -11)$, $C(10; 6)$.

Составим систему уравнений, приравнивая квадраты расстояний.

1. Приравняем $OA^2$ и $OB^2$:

$(3 - a)^2 + (13 - b)^2 = (-7 - a)^2 + (-11 - b)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$9 - 6a + a^2 + 169 - 26b + b^2 = 49 + 14a + a^2 + 121 + 22b + b^2$

$178 - 6a - 26b = 170 + 14a + 22b$

$178 - 170 = 14a + 6a + 22b + 26b$

$8 = 20a + 48b$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его:

$2 = 5a + 12b$

2. Приравняем $OB^2$ и $OC^2$:

$(-7 - a)^2 + (-11 - b)^2 = (10 - a)^2 + (6 - b)^2$

$49 + 14a + a^2 + 121 + 22b + b^2 = 100 - 20a + a^2 + 36 - 12b + b^2$

$170 + 14a + 22b = 136 - 20a - 12b$

$14a + 20a + 22b + 12b = 136 - 170$

$34a + 34b = -34$

Разделим обе части уравнения на 34:

$a + b = -1$

3. Решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases} 5a + 12b = 2 \\ a + b = -1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a$: $a = -1 - b$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$5(-1 - b) + 12b = 2$

$-5 - 5b + 12b = 2$

$7b = 7$

$b = 1$

Теперь найдем $a$:

$a = -1 - 1 = -2$

Таким образом, центр окружности $O$ имеет координаты $(-2; 1)$.

4. Найдем квадрат радиуса $R^2$, используя координаты точки $A(3; 13)$ и центра $O(-2; 1)$:

$R^2 = (3 - (-2))^2 + (13 - 1)^2 = (3 + 2)^2 + 12^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.

5. Запишем уравнение окружности:

$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 169$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 169$

Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 169$.

б) Даны точки $A(7; -7)$, $B(-2; -4)$, $C(6; 0)$.

Действуем аналогично предыдущему пункту.

1. Приравняем $OA^2$ и $OB^2$:

$(7 - a)^2 + (-7 - b)^2 = (-2 - a)^2 + (-4 - b)^2$

$49 - 14a + a^2 + 49 + 14b + b^2 = 4 + 4a + a^2 + 16 + 8b + b^2$

$98 - 14a + 14b = 20 + 4a + 8b$

$78 = 18a - 6b$

$13 = 3a - b$

2. Приравняем $OB^2$ и $OC^2$ (точка C удобна для вычислений, так как одна из координат равна нулю):

$(-2 - a)^2 + (-4 - b)^2 = (6 - a)^2 + (0 - b)^2$

$4 + 4a + a^2 + 16 + 8b + b^2 = 36 - 12a + a^2 + b^2$

$20 + 4a + 8b = 36 - 12a$

$16a + 8b = 16$

$2a + b = 2$

3. Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 3a - b = 13 \\ 2a + b = 2 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $b$:

$(3a - b) + (2a + b) = 13 + 2$

$5a = 15$

$a = 3$

Подставим значение $a$ во второе уравнение, чтобы найти $b$:

$2(3) + b = 2$

$6 + b = 2$

$b = -4$

Центр окружности $O$ имеет координаты $(3; -4)$.

4. Найдем квадрат радиуса $R^2$, используя координаты точки $C(6; 0)$ и центра $O(3; -4)$:

$R^2 = (6 - 3)^2 + (0 - (-4))^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

5. Запишем уравнение окружности:

$(x - 3)^2 + (y - (-4))^2 = 25$

$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$.

7.1 Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.

7.1 Обозначим искомые числа через $x$ и $y$. По условию задачи мы имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 12 \\ x \cdot y = 35 \end{cases} $

Данная система может быть решена с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Согласно этой теореме, если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями квадратного уравнения $t^2 + pt + q = 0$.

В нашем случае сумма чисел равна 12, а произведение равно 35. Следовательно, искомые числа являются корнями квадратного уравнения, где $-p=12$ (то есть $p=-12$) и $q=35$:

$t^2 - 12t + 35 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение, чтобы найти искомые числа. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4$

Поскольку дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 2}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$t_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, искомые числа — это 7 и 5.

Выполним проверку:

Сумма: $7 + 5 = 12$

Произведение: $7 \cdot 5 = 35$

Оба условия задачи выполняются.

Ответ: 5 и 7.

7.2 Сумма двух чисел равна 46, а сумма их квадратов равна 1130. Найдите эти числа.

7.2

Обозначим искомые числа через $x$ и $y$.

Исходя из условия задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Сумма двух чисел равна 46: $x + y = 46$

2. Сумма их квадратов равна 1130: $x^2 + y^2 = 1130$

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 46 \\ x^2 + y^2 = 1130 \end{cases} $

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 46 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$x^2 + (46 - x)^2 = 1130$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + 46^2 - 2 \cdot 46 \cdot x + x^2 = 1130$

$x^2 + 2116 - 92x + x^2 = 1130$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - 92x + 2116 - 1130 = 0$

$2x^2 - 92x + 986 = 0$

Для удобства разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 46x + 493 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 493 = 2116 - 1972 = 144$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{46 + 12}{2} = \frac{58}{2} = 29$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{46 - 12}{2} = \frac{34}{2} = 17$

Мы нашли возможные значения для одного из чисел. Теперь найдем второе число для каждого случая, используя выражение $y = 46 - x$:

1. Если $x_1 = 29$, то $y_1 = 46 - 29 = 17$.

2. Если $x_2 = 17$, то $y_2 = 46 - 17 = 29$.

В обоих случаях мы получили пару чисел 17 и 29.

Сделаем проверку:

Сумма чисел: $17 + 29 = 46$.

Сумма их квадратов: $17^2 + 29^2 = 289 + 841 = 1130$.

Оба условия задачи выполнены.

Ответ: 17 и 29.

7.3 Разность двух натуральных чисел равна 24, а их произведение равно 481. Найдите эти числа.

Пусть искомые натуральные числа — это $x$ и $y$. Поскольку числа натуральные, они должны быть положительными целыми числами.

Согласно условию задачи, их разность равна 24. Запишем это в виде уравнения. Предположим, что $x$ — большее число, тогда:

$x - y = 24$

Их произведение равно 481. Запишем второе уравнение:

$x \cdot y = 481$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$$ \begin{cases} x - y = 24 \\ x \cdot y = 481 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 24$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(y + 24) \cdot y = 481$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 + 24y = 481$

$y^2 + 24y - 481 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=24$, $c=-481$.

$D = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-481) = 576 + 1924 = 2500$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-24 + \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{-24 + 50}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$y_2 = \frac{-24 - \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{-24 - 50}{2} = \frac{-74}{2} = -37$

По условию, числа являются натуральными, поэтому корень $y_2 = -37$ не является решением задачи. Следовательно, одно из чисел равно 13.

Теперь найдем второе число $x$, подставив значение $y=13$ в выражение $x = y + 24$:

$x = 13 + 24 = 37$

Таким образом, искомые числа — это 13 и 37.

Выполним проверку: разность чисел $37 - 13 = 24$, произведение чисел $37 \cdot 13 = 481$. Оба условия задачи выполнены.

Ответ: 13 и 37.

7.4 Разность двух натуральных чисел равна 16, а произведение на 553 меньше суммы их квадратов. Найдите эти числа.

7.4

Пусть искомые натуральные числа — это $x$ и $y$. Для определенности предположим, что $x > y$.

Из условия задачи следует, что разность этих чисел равна 16. Это можно записать в виде уравнения:

$x - y = 16$

Второе условие гласит, что их произведение на 553 меньше суммы их квадратов. Это означает, что сумма квадратов больше произведения на 553. Запишем это в виде второго уравнения:

$x^2 + y^2 - xy = 553$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x - y = 16 \\ x^2 + y^2 - xy = 553 \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение системы. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Выражение $x^2 + y^2 - xy$ можно представить как $(x^2 - 2xy + y^2) + xy$, что равно $(x-y)^2 + xy$.

Тогда второе уравнение примет вид:

$(x-y)^2 + xy = 553$

Теперь подставим в это уравнение значение $x-y$ из первого уравнения системы:

$16^2 + xy = 553$

$256 + xy = 553$

Отсюда найдем произведение чисел $x$ и $y$:

$xy = 553 - 256$

$xy = 297$

Теперь наша система уравнений стала проще:

$ \begin{cases} x - y = 16 \\ xy = 297 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 16 + y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(16 + y)y = 297$

$16y + y^2 = 297$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 + 16y - 297 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-297) = 256 + 1188 = 1444$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1444} = 38$.

Теперь найдем значения $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 + 38}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 - 38}{2} = \frac{-54}{2} = -27$

По условию задачи, числа должны быть натуральными, поэтому отрицательный корень $y_2 = -27$ не является решением.

Таким образом, мы нашли одно из чисел: $y = 11$.

Найдем второе число $x$, используя уравнение $x = 16 + y$:

$x = 16 + 11 = 27$

Искомые числа — 27 и 11.

Проведем проверку:

1. Разность чисел: $27 - 11 = 16$. Условие выполнено.

2. Произведение: $27 \cdot 11 = 297$. Сумма квадратов: $27^2 + 11^2 = 729 + 121 = 850$. Разность между суммой квадратов и произведением: $850 - 297 = 553$. Условие выполнено.

Ответ: 27 и 11.

7.5 Сумма двух натуральных чисел равна 50, а произведение на 11 меньше, чем разность их квадратов. Найдите эти числа.

Обозначим два искомых натуральных числа как $x$ и $y$. Для определенности, пусть $x$ будет большее число, а $y$ — меньшее ($x > y$).

Согласно условиям задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: сумма двух натуральных чисел равна 50.

$x + y = 50$

Второе условие: их произведение на 11 меньше, чем разность их квадратов. Это означает, что разность квадратов больше произведения на 11. Уравнение будет выглядеть так:

$x^2 - y^2 = xy + 11$

Теперь решим эту систему уравнений. Преобразуем левую часть второго уравнения, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x - y)(x + y) = xy + 11$

Из первого уравнения мы знаем, что $x + y = 50$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$(x - y) \cdot 50 = xy + 11$

Мы получили новую систему, с которой будем работать:

$\begin{cases} x + y = 50 \\ 50(x - y) = xy + 11 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 50 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$50(x - (50 - x)) = x(50 - x) + 11$

Упростим и решим полученное уравнение:

$50(x - 50 + x) = 50x - x^2 + 11$

$50(2x - 50) = 50x - x^2 + 11$

$100x - 2500 = 50x - x^2 + 11$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 100x - 50x - 2500 - 11 = 0$

$x^2 + 50x - 2511 = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 50^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2511) = 2500 + 10044 = 12544$

Теперь найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{12544} = 112$.

Вычислим возможные значения для $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-50 + 112}{2} = \frac{62}{2} = 31$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-50 - 112}{2} = \frac{-162}{2} = -81$

Так как по условию задачи числа натуральные (то есть, целые и положительные), корень $x_2 = -81$ не является решением. Следовательно, одно из чисел равно $x = 31$.

Найдем второе число $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$y = 50 - x = 50 - 31 = 19$

Итак, искомые числа — 31 и 19.

Проверим найденные значения:

1. Сумма: $31 + 19 = 50$. Условие выполняется.

2. Произведение: $31 \cdot 19 = 589$.

3. Разность квадратов: $31^2 - 19^2 = 961 - 361 = 600$.

4. Разница между разностью квадратов и произведением: $600 - 589 = 11$. Условие выполняется.

Ответ: 19 и 31.

7.6 Какое двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр и в 3 раза больше произведения цифр?

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Согласно определению двузначного числа, $a$ является целым числом от 1 до 9, а $b$ — целым числом от 0 до 9.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему уравнений:

1. Число в 4 раза больше суммы своих цифр: $10a + b = 4(a + b)$

2. Число в 3 раза больше произведения своих цифр: $10a + b = 3(a \cdot b)$

Рассмотрим первое уравнение и упростим его, чтобы найти зависимость между $a$ и $b$:

$10a + b = 4a + 4b$

$10a - 4a = 4b - b$

$6a = 3b$

Разделив обе части на 3, получаем:

$b = 2a$

Это означает, что цифра единиц в два раза больше цифры десятков.

Теперь подставим полученное выражение $b = 2a$ во второе уравнение системы:

$10a + b = 3ab$

$10a + (2a) = 3a(2a)$

$12a = 6a^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$6a^2 - 12a = 0$

$6a(a - 2) = 0$

Это уравнение имеет два возможных решения для $a$: $a = 0$ или $a = 2$.

Поскольку $a$ является первой цифрой двузначного числа, она не может быть равна нулю ($a \neq 0$). Следовательно, единственно возможным значением для $a$ является 2.

Теперь, зная $a$, найдем $b$ из соотношения $b = 2a$:

$b = 2 \cdot 2 = 4$

Таким образом, искомое число — это 24.

Выполним проверку:

1. Сумма цифр числа 24 равна $2 + 4 = 6$. Проверим, больше ли число 24 суммы своих цифр в 4 раза: $6 \cdot 4 = 24$. Условие выполняется.

2. Произведение цифр числа 24 равно $2 \cdot 4 = 8$. Проверим, больше ли число 24 произведения своих цифр в 3 раза: $8 \cdot 3 = 24$. Условие также выполняется.

Ответ: 24

7.7 Сумма цифр двухзначного числа равна 12. Если к заданному числу прибавить 36, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.

Пусть искомое двузначное число представлено как $10x + y$, где $x$ — это цифра десятков, а $y$ — цифра единиц. По определению двузначного числа, $x$ может быть любой цифрой от 1 до 9, а $y$ — от 0 до 9.

Согласно первому условию задачи, сумма цифр числа равна 12. Это можно записать в виде математического уравнения:

$x + y = 12$

Согласно второму условию, если к исходному числу $(10x + y)$ прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Число, записанное в обратном порядке, будет иметь вид $10y + x$. Составим второе уравнение на основе этого условия:

$(10x + y) + 36 = 10y + x$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x + y = 12 \\ 10x + y + 36 = 10y + x \end{cases}$

Для решения системы упростим второе уравнение. Перенесем все переменные в левую часть, а числа — в правую:

$10x - x + y - 10y = -36$

$9x - 9y = -36$

Разделим обе части уравнения на 9, чтобы упростить его еще больше:

$x - y = -4$

Теперь наша система уравнений выглядит гораздо проще:

$\begin{cases} x + y = 12 \\ x - y = -4 \end{cases}$

Мы можем решить эту систему методом сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x + y) + (x - y) = 12 + (-4)$

$2x = 8$

$x = 4$

Мы нашли цифру десятков. Теперь подставим значение $x = 4$ в первое уравнение ($x + y = 12$), чтобы найти цифру единиц $y$:

$4 + y = 12$

$y = 12 - 4$

$y = 8$

Таким образом, цифра десятков исходного числа равна 4, а цифра единиц — 8. Искомое число — 48.

Проведем проверку:

1. Сумма цифр: $4 + 8 = 12$. Это соответствует первому условию.

2. Прибавим 36 к числу: $48 + 36 = 84$. Число 84 является числом, записанным цифрами 4 и 8 в обратном порядке. Это соответствует второму условию.

Оба условия выполнены, значит, число найдено верно.

Ответ: 48.