Страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что означает запись $A \subset B$?

1. Запись $A \subset B$ читается как «множество $A$ является собственным (или строгим) подмножеством множества $B$». Это означает, что все элементы множества $A$ содержатся в множестве $B$, но при этом множество $A$ не равно множеству $B$.

Для выполнения отношения $A \subset B$ необходимо одновременное соблюдение двух условий:

1. Условие включения: Каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$. На языке математической логики это записывается как $\forall x (x \in A \implies x \in B)$. Это условие само по себе означает, что $A$ является подмножеством $B$ и обозначается как $A \subseteq B$.

2. Условие строгости: Существует хотя бы один элемент в множестве $B$, который не принадлежит множеству $A$. Это гарантирует, что множества не равны ($A \neq B$). Формально: $\exists y (y \in B \land y \notin A)$.

Пример:

Пусть даны два множества: $A = \{1, 2\}$ и $B = \{1, 2, 3\}$.

Здесь все элементы из $A$ (1 и 2) есть и в $B$. Однако в множестве $B$ есть элемент 3, которого нет в множестве $A$. Следовательно, $A$ является собственным подмножеством $B$, и запись $A \subset B$ является верной.

Примечание о вариантах нотации:

Важно знать, что в некоторых математических текстах (особенно в зарубежной литературе) символ $\subset$ может обозначать нестрогое подмножество (то есть допускать равенство $A=B$). В таких случаях для строгого подмножества, о котором идет речь, используется отдельный символ $\subsetneq$. Однако в подавляющем большинстве российских учебников и стандартов принята именно та трактовка, где $\subset$ обозначает строгое включение.

Ответ: Запись $A \subset B$ означает, что множество A является собственным (строгим) подмножеством множества B. Это значит, что все элементы множества A принадлежат множеству B, но при этом множество B содержит как минимум один элемент, не принадлежащий множеству A (то есть, $A \neq B$).

запись $A \subset B$?

2. Как называют в математике знак $\subset$? знак $\in$?

знак ⊂
Этот символ называется знаком включения. Он используется в теории множеств, чтобы показать, что одно множество является подмножеством другого.
Запись `$A \subset B$` читается как «множество A является подмножеством множества B» или «множество A включено в множество B». Это означает, что каждый элемент множества A также является элементом множества B.
Например, если даны множества `$A = \{5, 10\}$` и `$B = \{5, 10, 15\}$`, то запись `$A \subset B$` верна, поскольку все элементы множества A (5 и 10) содержатся в множестве B.
Формальное определение таково: `$A \subset B$` тогда и только тогда, когда для любого элемента `$x$`, если `$x \in A$`, то `$x \in B$`.
Иногда для обозначения подмножества, которое не равно исходному множеству (т.е. строгого подмножества), используют знак `$\subsetneq$`, а для нестрогого включения (когда множества могут быть равны) — знак `$\subseteq$`. Однако часто знак `$\subset$` используют в значении нестрогого включения.
Ответ: Знак включения, или знак подмножества.

знак ∈
Этот символ называется знаком принадлежности. Он показывает, что какой-либо объект является элементом некоторого множества.
Запись `$x \in A$` читается как «элемент x принадлежит множеству A» или «x является элементом множества A».
Например, если у нас есть множество натуральных чисел `$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$`, то запись `$7 \in \mathbb{N}$` будет истинной, так как 7 — это натуральное число. В то же время запись `$0.5 \in \mathbb{N}$` будет ложной.
Если элемент не принадлежит множеству, используется перечеркнутый знак `$\notin$`. Например, `$0.5 \notin \mathbb{N}$`.
Важно не путать знаки принадлежности и включения: знак `$\in$` связывает элемент и множество, а знак `$\subset$` связывает два множества.
Ответ: Знак принадлежности элемента множеству.

3. Верна ли запись $N \in \mathbb{Z}$? $N \subset \mathbb{Z}$?

$N \in Z$

Разберем первую запись: $N \in Z$.
В теории множеств приняты следующие обозначения:
$N$ — это множество натуральных чисел, то есть $N = \{1, 2, 3, \dots\}$.
$Z$ — это множество целых чисел, то есть $Z = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$.
Символ $\in$ означает «принадлежит». Он используется для указания того, что некоторый объект является элементом множества. Например, запись $3 \in Z$ верна, потому что 3 — это элемент множества целых чисел.
Запись $N \in Z$ утверждала бы, что множество натуральных чисел $N$ само по себе является одним из элементов множества целых чисел $Z$. Однако элементами множества $Z$ являются числа, а не другие множества. Множество $N$ — это не целое число, а совокупность чисел. Поэтому данная запись не имеет смысла и является неверной.

Ответ: запись $N \in Z$ неверна.

$N \subset Z$

Теперь рассмотрим вторую запись: $N \subset Z$.
Символ $\subset$ означает «является подмножеством». Множество $A$ является подмножеством множества $B$ (пишется $A \subset B$), если каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$.
Чтобы проверить, верна ли запись $N \subset Z$, нам нужно выяснить, является ли каждое натуральное число также и целым числом.
Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, \dots\}$ состоит из всех целых положительных чисел. Множество целых чисел $Z = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ включает в себя все положительные целые числа, ноль и все отрицательные целые числа.
Поскольку любое натуральное число (любой элемент из $N$) также входит в состав множества целых чисел (является элементом $Z$), то множество $N$ является подмножеством множества $Z$.

Ответ: запись $N \subset Z$ верна.

4. Верна ли запись $1 \in N$? $1 \subset N$?

Да, эта запись верна. Символ $\in$ означает «принадлежит» и указывает на то, что объект является элементом некоторого множества. Буквой $N$ в математике принято обозначать множество натуральных чисел, то есть $N = \{1, 2, 3, \dots\}$. Следовательно, запись $1 \in N$ читается как «элемент 1 принадлежит множеству натуральных чисел». Так как 1 действительно является натуральным числом, данное утверждение истинно.

Ответ: запись $1 \in N$ верна.

Нет, эта запись неверна. Символ $\subset$ означает «является подмножеством» и описывает отношение между двумя множествами. Запись $A \subset B$ означает, что каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$. В выражении $1 \subset N$ слева от знака стоит число 1, которое является отдельным элементом, а не множеством. Отношение «быть подмножеством» определено только для множеств. Элемент не может быть подмножеством другого множества. Поэтому запись $1 \subset N$ является некорректной. Чтобы выразить похожую мысль корректно, следовало бы использовать запись $\{1\} \subset N$. Она означает, что множество, состоящее из единственного элемента 1, является подмножеством множества натуральных чисел, и это утверждение было бы верным.

Ответ: запись $1 \subset N$ неверна.

7.24 Чан наполняется двумя кранами при совместной работе за 1 ч. Наполнение чана только через первый кран длится вдвое дольше, чем через второй кран. За какой промежуток времени каждый кран, работая отдельно, может наполнить чан?

Для решения задачи примем весь объем чана за 1 (единицу).

Пусть $t_1$ — это время (в часах), за которое первый кран наполняет чан, работая в одиночку, а $t_2$ — время, за которое второй кран наполняет чан, работая в одиночку.

Тогда производительность (скорость работы) первого крана составляет $P_1 = \frac{1}{t_1}$ чана в час, а производительность второго крана — $P_2 = \frac{1}{t_2}$ чана в час.

Согласно условию, при совместной работе двух кранов чан наполняется за 1 час. Совместная производительность равна сумме производительностей каждого крана: $P_{общ} = P_1 + P_2$. Время наполнения связано с производительностью формулой $t_{общ} = \frac{1}{P_{общ}}$.

Таким образом, мы можем составить первое уравнение:$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{1} = 1$.

Также в условии сказано, что на наполнение чана только через первый кран уходит вдвое больше времени, чем через второй. Это дает нам второе уравнение:$t_1 = 2t_2$.

Теперь решим систему из двух уравнений:$\begin{cases}\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = 1 \\t_1 = 2t_2\end{cases}$

Подставим выражение для $t_1$ из второго уравнения в первое:$\frac{1}{2t_2} + \frac{1}{t_2} = 1$.

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю $2t_2$:$\frac{1}{2t_2} + \frac{2}{2t_2} = 1$.

Сложим дроби в левой части уравнения:$\frac{1+2}{2t_2} = 1$,$\frac{3}{2t_2} = 1$.

Отсюда выразим и найдем $t_2$:$2t_2 = 3$,$t_2 = \frac{3}{2} = 1.5$ часа.

Теперь, зная $t_2$, найдем $t_1$ из второго уравнения системы:$t_1 = 2 \cdot t_2 = 2 \cdot 1.5 = 3$ часа.

Следовательно, первому крану для наполнения чана потребуется 3 часа, а второму — 1.5 часа (что равно 1 час 30 минут).

Ответ: Первый кран, работая отдельно, может наполнить чан за 3 часа, а второй кран — за 1.5 часа.

7.25 Аквариум объёмом $54 \text{ м}^3$ заполняется при помощи двух кранов. При этом первый кран работает 3 ч, а второй — 2 ч. Какова пропускная способность первого крана, если $1 \text{ м}^3$ он заполняет на 1 мин медленнее, чем второй?

Для решения задачи введем переменные. Пусть пропускная способность первого крана равна $x$ м³/ч, а пропускная способность второго крана — $y$ м³/ч.

Первый кран работает 3 часа и за это время наполняет объём, равный $3x$ м³. Второй кран работает 2 часа и наполняет объём $2y$ м³. Вместе они заполняют аквариум объёмом 54 м³. Это позволяет нам составить первое уравнение:

$3x + 2y = 54$

Далее, рассмотрим второе условие. Время, необходимое первому крану для заполнения 1 м³, составляет $\frac{1}{x}$ часа. Для второго крана это время составляет $\frac{1}{y}$ часа. По условию, первый кран заполняет 1 м³ на 1 минуту медленнее, чем второй. Переведем 1 минуту в часы: $1 \text{ мин} = \frac{1}{60} \text{ ч}$. Так как первый кран медленнее, времени ему требуется больше. Составим второе уравнение:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{y} + \frac{1}{60}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases}3x + 2y = 54 \\\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{60}\end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения. Сначала найдем $\frac{1}{y}$:

$\frac{1}{y} = \frac{1}{x} - \frac{1}{60} = \frac{60 - x}{60x}$

Отсюда получаем выражение для $y$:

$y = \frac{60x}{60 - x}$

Так как пропускная способность $y$ должна быть положительной, знаменатель $60 - x$ также должен быть положительным (поскольку $x > 0$), что дает нам условие $x < 60$.

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$3x + 2\left(\frac{60x}{60 - x}\right) = 54$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$x + \frac{40x}{60 - x} = 18$

Умножим обе части уравнения на $(60 - x)$, чтобы избавиться от дроби:

$x(60 - x) + 40x = 18(60 - x)$

$60x - x^2 + 40x = 1080 - 18x$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$100x - x^2 = 1080 - 18x$

$x^2 - 118x + 1080 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-118)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1080 = 13924 - 4320 = 9604$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{9604} = 98$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{118 + 98}{2} = \frac{216}{2} = 108$

$x_2 = \frac{118 - 98}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Мы получили два возможных значения для пропускной способности первого крана. Однако ранее мы установили ограничение $x < 60$. Корень $x_1 = 108$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, он является посторонним.Единственное решение, которое нам подходит, — это $x_2 = 10$.

Таким образом, пропускная способность первого крана составляет 10 м³/ч.

Ответ: 10 м³/ч.

7.26 Два тракториста, работая совместно, вспахали поле за 48 ч. Если бы половину поля вспахал один из них, а затем оставшуюся половину другой, то работа была бы выполнена за 100 ч. За сколько часов мог бы вспахать поле каждый тракторист, работая отдельно?

Пусть $x$ часов — это время, за которое первый тракторист может вспахать все поле, работая отдельно, а $y$ часов — время, за которое это сделает второй тракторист. Примем всю работу по вспашке поля за 1.

Тогда производительность первого тракториста (скорость работы) составляет $\frac{1}{x}$ поля в час, а производительность второго — $\frac{1}{y}$ поля в час.

Из первого условия задачи известно, что, работая совместно, они вспахали поле за 48 часов. Их общая производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Используя формулу "Работа = Производительность × Время", составим первое уравнение: $$ (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 48 = 1 $$ Отсюда получаем: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{48} $$

Из второго условия задачи известно, что если бы один тракторист вспахал половину поля, а затем другой — оставшуюся половину, то вся работа была бы выполнена за 100 часов. Время, необходимое первому трактористу для вспашки половины поля (работа равна $\frac{1}{2}$), составляет $t_1 = \frac{1/2}{1/x} = \frac{x}{2}$ часов. Время, необходимое второму трактористу для вспашки второй половины поля, составляет $t_2 = \frac{1/2}{1/y} = \frac{y}{2}$ часов. Суммарное время равно 100 часам, что дает нам второе уравнение: $$ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 100 $$ Умножив обе части на 2, получим: $$ x + y = 200 $$

Теперь у нас есть система из двух уравнений: $$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{48} \\ x + y = 200 \end{cases} $$

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 200 - x$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{200 - x} = \frac{1}{48} $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(200 - x)$: $$ \frac{200 - x + x}{x(200 - x)} = \frac{1}{48} $$ $$ \frac{200}{200x - x^2} = \frac{1}{48} $$

По свойству пропорции (или умножив обе части на $48 \cdot (200x - x^2)$), получаем: $$ 200 \cdot 48 = 200x - x^2 $$ $$ 9600 = 200x - x^2 $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ x^2 - 200x + 9600 = 0 $$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-200)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9600 = 40000 - 38400 = 1600 $$ Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40$.

Найдем корни уравнения: $$ x_1 = \frac{-(-200) + 40}{2 \cdot 1} = \frac{240}{2} = 120 $$ $$ x_2 = \frac{-(-200) - 40}{2 \cdot 1} = \frac{160}{2} = 80 $$

Мы получили два возможных значения для времени работы первого тракториста. Найдем соответствующие значения для второго тракториста, используя соотношение $y = 200 - x$:

• Если $x_1 = 120$ часов, то $y_1 = 200 - 120 = 80$ часов.
• Если $x_2 = 80$ часов, то $y_2 = 200 - 80 = 120$ часов.

Оба варианта решения указывают на то, что время работы одного тракториста — 80 часов, а другого — 120 часов.

Ответ: один тракторист мог бы вспахать поле за 80 часов, а другой — за 120 часов.

7.27 Двое рабочих вместе могут справиться с заданием за 2 ч. Если один из них сделает 40 % задания, а затем второй — оставшуюся часть работы, то на выполнение задания понадобится 4 ч. За какое время сможет выполнить всё задание каждый рабочий, действуя в одиночку, если известно, что производительность труда у них различная?

Пусть весь объем работы, который необходимо выполнить, равен 1. Обозначим производительность первого рабочего как $p_1$ (часть задания, выполняемая за час), а производительность второго рабочего — как $p_2$. Тогда время, за которое каждый из них выполнит все задание в одиночку, будет равно $t_1 = \frac{1}{p_1}$ и $t_2 = \frac{1}{p_2}$ соответственно.

Согласно первому условию, работая вместе, они выполняют задание за 2 часа. Их совместная производительность составляет $p_1 + p_2$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$(p_1 + p_2) \cdot 2 = 1$

Из этого уравнения следует:

$p_1 + p_2 = \frac{1}{2}$ (1)

Согласно второму условию, если один рабочий выполнит 40% (то есть 0,4) задания, а второй — оставшиеся 60% (то есть 0,6), общее время работы составит 4 часа. Время, необходимое для выполнения части работы, рассчитывается как объем этой части, деленный на производительность. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{0.4}{p_1} + \frac{0.6}{p_2} = 4$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Для ее решения выразим $p_2$ из уравнения (1):

$p_2 = \frac{1}{2} - p_1$

Теперь подставим это выражение в уравнение (2):

$\frac{0.4}{p_1} + \frac{0.6}{\frac{1}{2} - p_1} = 4$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{0.4(\frac{1}{2} - p_1) + 0.6p_1}{p_1(\frac{1}{2} - p_1)} = 4$

Упростим числитель:

$\frac{0.2 - 0.4p_1 + 0.6p_1}{\frac{1}{2}p_1 - p_1^2} = 4 \implies \frac{0.2 + 0.2p_1}{\frac{1}{2}p_1 - p_1^2} = 4$

Теперь избавимся от знаменателя, умножив на него обе части уравнения:

$0.2 + 0.2p_1 = 4(\frac{1}{2}p_1 - p_1^2)$

$0.2 + 0.2p_1 = 2p_1 - 4p_1^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$4p_1^2 - 2p_1 + 0.2p_1 + 0.2 = 0$

$4p_1^2 - 1.8p_1 + 0.2 = 0$

Для удобства вычислений умножим уравнение на 10, а затем разделим на 2:

$40p_1^2 - 18p_1 + 2 = 0 \implies 20p_1^2 - 9p_1 + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 20 \cdot 1 = 81 - 80 = 1$

Найдем корни уравнения для $p_1$:

$p_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 1}{40}$

Это дает нам два возможных значения для $p_1$:

$p_{1,1} = \frac{9+1}{40} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$

$p_{1,2} = \frac{9-1}{40} = \frac{8}{40} = \frac{1}{5}$

Теперь для каждого найденного значения $p_1$ найдем соответствующее значение $p_2$ из уравнения $p_2 = \frac{1}{2} - p_1$:

1. Если $p_1 = \frac{1}{4}$, то $p_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$. В этом случае $p_1 = p_2$, что противоречит условию о различной производительности труда. Следовательно, это решение не подходит.

2. Если $p_1 = \frac{1}{5}$, то $p_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} = \frac{3}{10}$. В этом случае производительности различны, что соответствует условию задачи.

Итак, производительность одного рабочего составляет $\frac{1}{5}$ задания в час, а другого — $\frac{3}{10}$ задания в час.

Осталось найти время, за которое каждый рабочий выполнит все задание в одиночку:

Время первого рабочего: $t_1 = \frac{1}{1/5} = 5$ часов.

Время второго рабочего: $t_2 = \frac{1}{3/10} = \frac{10}{3}$ часа.

Переведем $\frac{10}{3}$ часа в часы и минуты: $\frac{10}{3} \text{ ч} = 3 \frac{1}{3} \text{ ч} = 3 \text{ часа } 20 \text{ минут}$.

Ответ: один рабочий сможет выполнить все задание за 5 часов, а второй — за 3 часа 20 минут.

7.28 Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.

Пусть искомое двузначное число состоит из цифры десятков $x$ и цифры единиц $y$. Тогда значение этого числа можно записать как $10x + y$. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь значение $10y + x$. При этом $x$ и $y$ — это целые числа от 0 до 9, и так как число двузначное, $x \neq 0$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: "Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13". Запишем это в виде уравнения:
$x^2 + y^2 = 13$

Второе условие: "Если от этого числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке". Запишем это в виде второго уравнения:
$(10x + y) - 9 = 10y + x$

Теперь необходимо решить полученную систему уравнений. Начнем с упрощения второго уравнения:
$10x - x + y - 10y = 9$
$9x - 9y = 9$
Разделив обе части уравнения на 9, получим:
$x - y = 1$
Из этого уравнения выразим $x$:
$x = y + 1$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$(y + 1)^2 + y^2 = 13$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y^2 + 2y + 1 + y^2 = 13$
$2y^2 + 2y + 1 - 13 = 0$
$2y^2 + 2y - 12 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$y^2 + y - 6 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-6$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-3$.
$y_1 = 2$, $y_2 = -3$.

Поскольку $y$ обозначает цифру, она не может быть отрицательной. Значит, корень $y_2 = -3$ не является решением задачи. Единственное подходящее значение — это $y = 2$.

Теперь найдем соответствующее значение $x$, используя соотношение $x = y + 1$:
$x = 2 + 1 = 3$

Таким образом, цифра десятков искомого числа равна 3, а цифра единиц — 2. Искомое число — 32.

Выполним проверку:
1. Сумма квадратов цифр: $3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$. Первое условие выполнено.
2. Разность числа и 9: $32 - 9 = 23$. Число 23 — это число 32 с переставленными цифрами. Второе условие выполнено.

Ответ: 32

7.29 Если задуманное двузначное число умножить на цифру его единиц, то получится $376$, а если из задуманного числа вычесть двузначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится $45$. Какое число задумано?

Пусть задуманное двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. При этом $a$ может быть любым целым числом от 1 до 9, а $b$ — от 0 до 9.

Согласно условию задачи, у нас есть два утверждения, которые можно записать в виде системы уравнений.

1. Если задуманное двузначное число умножить на цифру его единиц, то получится 376.
Математически это выглядит так:
$(10a + b) \cdot b = 376$

2. Если из задуманного числа вычесть двузначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится 45.
Число, записанное в обратном порядке, — это $10b + a$.
Математически это выглядит так:
$(10a + b) - (10b + a) = 45$

Начнем с решения второго уравнения, так как оно проще.
$(10a + b) - (10b + a) = 45$
$10a + b - 10b - a = 45$
$9a - 9b = 45$
Разделим обе части уравнения на 9:
$a - b = 5$
Отсюда мы можем выразить $a$ через $b$:
$a = b + 5$

Теперь подставим это выражение для $a$ в первое уравнение:
$(10(b + 5) + b) \cdot b = 376$
$(10b + 50 + b) \cdot b = 376$
$(11b + 50) \cdot b = 376$

Из первого уравнения $(10a + b) \cdot b = 376$ следует, что $b$ должно быть делителем числа 376. Найдем все однозначные делители числа 376.
Разложим 376 на простые множители: $376 = 2 \cdot 188 = 2 \cdot 2 \cdot 94 = 2^3 \cdot 47$.
Однозначные делители числа 376: 1, 2, 4, 8. (Заметим, что $b \neq 0$, так как произведение не равно нулю).

Теперь проверим каждое возможное значение $b$, используя найденное ранее соотношение $a = b + 5$.

• Если $b = 1$, то $a = 1 + 5 = 6$. Задуманное число — 61. Проверим по первому условию: $61 \cdot 1 = 61 \neq 376$. Этот вариант не подходит.
• Если $b = 2$, то $a = 2 + 5 = 7$. Задуманное число — 72. Проверим по первому условию: $72 \cdot 2 = 144 \neq 376$. Этот вариант не подходит.
• Если $b = 4$, то $a = 4 + 5 = 9$. Задуманное число — 94. Проверим по первому условию: $94 \cdot 4 = 376$. Это верно. Проверим и второе условие: $94 - 49 = 45$. Это тоже верно. Этот вариант подходит.
• Если $b = 8$, то $a = 8 + 5 = 13$. Значение $a$ должно быть однозначным числом, поэтому этот вариант невозможен.

Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям, — это 94.
Ответ: 94

7.30 Задуманы два натуральных числа, произведение которых равно 720. Если первое число разделить на второе, то в частном получит-ся 3 и в остатке 3. Какие числа задуманы?

Обозначим задуманные натуральные числа как a (первое число) и b (второе число).

Согласно условию задачи, произведение этих чисел равно 720. Это можно записать в виде уравнения:
$a \cdot b = 720$

Также из условия известно, что при делении первого числа (a) на второе (b) в частном получается 3 и в остатке 3. Это означает, что первое число можно представить в виде:
$a = 3 \cdot b + 3$
Важным условием деления с остатком является то, что остаток должен быть меньше делителя, то есть $3 < b$.

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} a \cdot b = 720 \\ a = 3b + 3 \end{cases} $

Для решения системы подставим выражение для a из второго уравнения в первое:
$(3b + 3) \cdot b = 720$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно b:
$3b^2 + 3b = 720$
Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 3:
$b^2 + b = 240$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:
$b^2 + b - 240 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта ($D = B^2 - 4AC$):
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.

Теперь вычислим возможные значения для b:
$b_1 = \frac{-1 + 31}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$
$b_2 = \frac{-1 - 31}{2 \cdot 1} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку по условию задачи b — это натуральное число, отрицательный корень $b_2 = -16$ нам не подходит. Следовательно, второе число $b = 15$. Это значение удовлетворяет условию $b > 3$ (так как $15 > 3$).

Теперь найдем первое число a, подставив значение $b = 15$ в выражение $a = 3b + 3$:
$a = 3 \cdot 15 + 3 = 45 + 3 = 48$

Итак, задуманные числа — это 48 и 15.

Выполним проверку:
1. Произведение чисел: $48 \cdot 15 = 720$. Условие выполнено.
2. Деление с остатком: $48 \div 15 = 3$ с остатком $3$, так как $48 = 15 \cdot 3 + 3$. Условие выполнено.

Ответ: 48 и 15.

7.31 При перемножении двух натуральных чисел, разность которых равна 7, была допущена ошибка: цифра сотен в произведении увеличена на 4. При делении полученного (неверного) произведения на меньший множитель получилось в частном 52 и в остатке 26. Найдите исходные числа.

1. Введение переменных. Пусть меньшее из двух искомых натуральных чисел равно $x$. Поскольку разность чисел равна 7, большее число будет равно $x+7$.

2. Составление уравнений на основе условия. Истинное произведение этих чисел, обозначим его как $P$, равно $x(x+7)$. По условию, при вычислении произведения была допущена ошибка: цифра сотен была увеличена на 4. Это означает, что полученное неверное произведение, назовем его $P'$, больше истинного на $4 \times 100 = 400$. Следовательно, $P' = P + 400 = x(x+7) + 400$.

Также в задаче говорится, что при делении неверного произведения $P'$ на меньший множитель $x$ получилось частное 52 и остаток 26. Это можно записать с помощью формулы деления с остатком: $P' = 52 \cdot x + 26$. Важным следствием этой формулы является то, что остаток должен быть строго меньше делителя, то есть $26 < x$.

3. Решение системы уравнений. Теперь у нас есть два выражения для неверного произведения $P'$. Приравняем их: $x(x+7) + 400 = 52x + 26$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 + 7x + 400 = 52x + 26$ $x^2 + 7x - 52x + 400 - 26 = 0$ $x^2 - 45x + 374 = 0$

4. Нахождение корней квадратного уравнения. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 374 = 2025 - 1496 = 529$ $\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$

Теперь найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-45) + 23}{2 \cdot 1} = \frac{45 + 23}{2} = \frac{68}{2} = 34$ $x_2 = \frac{-(-45) - 23}{2 \cdot 1} = \frac{45 - 23}{2} = \frac{22}{2} = 11$

5. Проверка корней и выбор правильного решения. Мы получили два возможных значения для меньшего числа $x$: 34 и 11. Однако мы помним условие, вытекающее из деления с остатком: $x > 26$. Проверим наши корни:

• $x_1 = 34$. Неравенство $34 > 26$ выполняется. Этот корень подходит.
• $x_2 = 11$. Неравенство $11 > 26$ не выполняется. Этот корень является посторонним, так как остаток (26) не может быть больше делителя (11).

Следовательно, меньшее число равно 34. Найдем большее число: $x + 7 = 34 + 7 = 41$. Исходные числа — 34 и 41.

Ответ: 34 и 41.