Номер 7.24, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.24 Чан наполняется двумя кранами при совместной работе за 1 ч. Наполнение чана только через первый кран длится вдвое дольше, чем через второй кран. За какой промежуток времени каждый кран, работая отдельно, может наполнить чан?

Для решения задачи примем весь объем чана за 1 (единицу).

Пусть $t_1$ — это время (в часах), за которое первый кран наполняет чан, работая в одиночку, а $t_2$ — время, за которое второй кран наполняет чан, работая в одиночку.

Тогда производительность (скорость работы) первого крана составляет $P_1 = \frac{1}{t_1}$ чана в час, а производительность второго крана — $P_2 = \frac{1}{t_2}$ чана в час.

Согласно условию, при совместной работе двух кранов чан наполняется за 1 час. Совместная производительность равна сумме производительностей каждого крана: $P_{общ} = P_1 + P_2$. Время наполнения связано с производительностью формулой $t_{общ} = \frac{1}{P_{общ}}$.

Таким образом, мы можем составить первое уравнение:$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{1} = 1$.

Также в условии сказано, что на наполнение чана только через первый кран уходит вдвое больше времени, чем через второй. Это дает нам второе уравнение:$t_1 = 2t_2$.

Теперь решим систему из двух уравнений:$\begin{cases}\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = 1 \\t_1 = 2t_2\end{cases}$

Подставим выражение для $t_1$ из второго уравнения в первое:$\frac{1}{2t_2} + \frac{1}{t_2} = 1$.

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю $2t_2$:$\frac{1}{2t_2} + \frac{2}{2t_2} = 1$.

Сложим дроби в левой части уравнения:$\frac{1+2}{2t_2} = 1$,$\frac{3}{2t_2} = 1$.

Отсюда выразим и найдем $t_2$:$2t_2 = 3$,$t_2 = \frac{3}{2} = 1.5$ часа.

Теперь, зная $t_2$, найдем $t_1$ из второго уравнения системы:$t_1 = 2 \cdot t_2 = 2 \cdot 1.5 = 3$ часа.

Следовательно, первому крану для наполнения чана потребуется 3 часа, а второму — 1.5 часа (что равно 1 час 30 минут).

Ответ: Первый кран, работая отдельно, может наполнить чан за 3 часа, а второй кран — за 1.5 часа.