Номер 7.20, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.20 Турист проплыл на лодке по реке из города $A$ в город $B$ и обратно за 7 ч. Найдите скорость течения реки, если известно, что турист проплывал 2 км против течения за то же время, что и 5 км по течению, а расстояние между городами равно 20 км.

Пусть $v_л$ - собственная скорость лодки (в стоячей воде), а $v_т$ - скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению равна $(v_л + v_т)$, а скорость против течения равна $(v_л - v_т)$.

Из условия известно, что турист проплывал 2 км против течения за то же время, что и 5 км по течению. Время вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$. Составим уравнение на основе этого условия:

$t_{против} = t_{по}$

$\frac{2}{v_л - v_т} = \frac{5}{v_л + v_т}$

Используя основное свойство пропорции, получим:

$2(v_л + v_т) = 5(v_л - v_т)$

$2v_л + 2v_т = 5v_л - 5v_т$

$7v_т = 3v_л$

Отсюда выразим собственную скорость лодки через скорость течения:

$v_л = \frac{7}{3}v_т$

Общее время движения из города А в город В и обратно составило 7 часов, а расстояние между городами равно 20 км. Время в пути по течению равно $\frac{20}{v_л + v_т}$, а время против течения - $\frac{20}{v_л - v_т}$. Составим второе уравнение:

$\frac{20}{v_л + v_т} + \frac{20}{v_л - v_т} = 7$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $v_л$, которое мы нашли ранее ($v_л = \frac{7}{3}v_т$):

$\frac{20}{(\frac{7}{3}v_т) + v_т} + \frac{20}{(\frac{7}{3}v_т) - v_т} = 7$

$\frac{20}{\frac{10}{3}v_т} + \frac{20}{\frac{4}{3}v_т} = 7$

Упростим дроби:

$\frac{20 \cdot 3}{10v_т} + \frac{20 \cdot 3}{4v_т} = 7$

$\frac{60}{10v_т} + \frac{60}{4v_т} = 7$

$\frac{6}{v_т} + \frac{15}{v_т} = 7$

Сложим дроби в левой части уравнения:

$\frac{21}{v_т} = 7$

Отсюда находим скорость течения реки:

$v_т = \frac{21}{7} = 3$

Скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.