Номер 7.17, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.17 Расстояние между двумя посёлками, равное 24 км, первый пешеход преодолел на 2 ч быстрее второго. Если скорость движения первого увеличить на 2 км/ч, а второго на 1 км/ч, то и в этом случае весь путь первый преодолеет на 2 ч быстрее второго. Найдите первоначальные скорости пешеходов.

Решение

Пусть $v_1$ км/ч — первоначальная скорость первого пешехода, а $v_2$ км/ч — первоначальная скорость второго пешехода. Расстояние между посёлками составляет $S = 24$ км.

Время, за которое первый пешеход проходит расстояние $S$, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{24}{v_1}$ ч.
Время, за которое второй пешеход проходит расстояние $S$, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{24}{v_2}$ ч.

По условию, первый пешеход преодолел расстояние на 2 часа быстрее второго, следовательно, время второго пешехода на 2 часа больше времени первого:

$t_2 - t_1 = 2$

$\frac{24}{v_2} - \frac{24}{v_1} = 2$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{12}{v_2} - \frac{12}{v_1} = 1$ (1)

Далее, скорость первого пешехода увеличили на 2 км/ч, и она стала равной $(v_1 + 2)$ км/ч. Скорость второго пешехода увеличили на 1 км/ч, и она стала равной $(v_2 + 1)$ км/ч.

Новое время первого пешехода: $t_{1_{нов}} = \frac{24}{v_1 + 2}$ ч.
Новое время второго пешехода: $t_{2_{нов}} = \frac{24}{v_2 + 1}$ ч.

В этом случае первый пешеход также преодолел путь на 2 часа быстрее второго:

$t_{2_{нов}} - t_{1_{нов}} = 2$

$\frac{24}{v_2 + 1} - \frac{24}{v_1 + 2} = 2$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{12}{v_2 + 1} - \frac{12}{v_1 + 2} = 1$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{12}{v_2} - \frac{12}{v_1} = 1 \\ \frac{12}{v_2 + 1} - \frac{12}{v_1 + 2} = 1 \end{cases}$

Приравняем левые части уравнений, так как их правые части равны:

$\frac{12}{v_2} - \frac{12}{v_1} = \frac{12}{v_2 + 1} - \frac{12}{v_1 + 2}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$\frac{12}{v_1 + 2} - \frac{12}{v_1} = \frac{12}{v_2 + 1} - \frac{12}{v_2}$

Приведём к общему знаменателю в каждой части уравнения:

$\frac{12v_1 - 12(v_1 + 2)}{v_1(v_1 + 2)} = \frac{12v_2 - 12(v_2 + 1)}{v_2(v_2 + 1)}$

$\frac{12v_1 - 12v_1 - 24}{v_1^2 + 2v_1} = \frac{12v_2 - 12v_2 - 12}{v_2^2 + v_2}$

$\frac{-24}{v_1^2 + 2v_1} = \frac{-12}{v_2^2 + v_2}$

Разделим обе части на -12:

$\frac{2}{v_1^2 + 2v_1} = \frac{1}{v_2^2 + v_2}$

$2(v_2^2 + v_2) = v_1^2 + 2v_1$

Теперь выразим $v_2$ через $v_1$ из уравнения (1):

$\frac{12}{v_2} = 1 + \frac{12}{v_1} = \frac{v_1 + 12}{v_1}$

$v_2 = \frac{12v_1}{v_1 + 12}$

Подставим это выражение для $v_2$ в уравнение $2(v_2^2 + v_2) = v_1^2 + 2v_1$:

$2\left(\left(\frac{12v_1}{v_1 + 12}\right)^2 + \frac{12v_1}{v_1 + 12}\right) = v_1^2 + 2v_1$

$2\left(\frac{144v_1^2}{(v_1 + 12)^2} + \frac{12v_1(v_1+12)}{(v_1 + 12)^2}\right) = v_1(v_1 + 2)$

$2\left(\frac{144v_1^2 + 12v_1^2 + 144v_1}{(v_1 + 12)^2}\right) = v_1(v_1 + 2)$

$2\left(\frac{156v_1^2 + 144v_1}{(v_1 + 12)^2}\right) = v_1(v_1 + 2)$

$2 \cdot \frac{12v_1(13v_1 + 12)}{(v_1 + 12)^2} = v_1(v_1 + 2)$

Поскольку скорость $v_1 > 0$, мы можем разделить обе части на $v_1$:

$\frac{24(13v_1 + 12)}{(v_1 + 12)^2} = v_1 + 2$

$24(13v_1 + 12) = (v_1 + 2)(v_1 + 12)^2$

$312v_1 + 288 = (v_1 + 2)(v_1^2 + 24v_1 + 144)$

$312v_1 + 288 = v_1^3 + 24v_1^2 + 144v_1 + 2v_1^2 + 48v_1 + 288$

$312v_1 + 288 = v_1^3 + 26v_1^2 + 192v_1 + 288$

$0 = v_1^3 + 26v_1^2 + 192v_1 - 312v_1$

$0 = v_1^3 + 26v_1^2 - 120v_1$

$0 = v_1(v_1^2 + 26v_1 - 120)$

Так как $v_1 \ne 0$, решаем квадратное уравнение $v_1^2 + 26v_1 - 120 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 26^2 - 4(1)(-120) = 676 + 480 = 1156 = 34^2$.

$v_1 = \frac{-26 \pm \sqrt{1156}}{2} = \frac{-26 \pm 34}{2}$

$v_{1_a} = \frac{-26 + 34}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$v_{1_b} = \frac{-26 - 34}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $v_1 = 4$ км/ч.

Теперь найдём $v_2$:

$v_2 = \frac{12v_1}{v_1 + 12} = \frac{12 \cdot 4}{4 + 12} = \frac{48}{16} = 3$ км/ч.

Проверка:
Первоначальные скорости: $v_1 = 4$ км/ч, $v_2 = 3$ км/ч.
Время: $t_1 = 24/4 = 6$ ч, $t_2 = 24/3 = 8$ ч. Разница $8 - 6 = 2$ ч. Верно.
Новые скорости: $v_1 = 4+2=6$ км/ч, $v_2 = 3+1=4$ км/ч.
Время: $t_{1_{нов}} = 24/6 = 4$ ч, $t_{2_{нов}} = 24/4 = 6$ ч. Разница $6 - 4 = 2$ ч. Верно.

Ответ: первоначальная скорость первого пешехода равна 4 км/ч, а второго — 3 км/ч.