Номер 7.14, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.14 В красном зале кинотеатра 320 мест, а в синем — 360. В красном зале на 2 ряда больше, чем в синем, но в каждом ряду на 4 места меньше, чем в каждом ряду синего зала. Сколько рядов в каждом зале кинотеатра?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $r_с$ — это количество рядов в синем зале, а $m_с$ — количество мест в каждом ряду синего зала. Аналогично, пусть $r_к$ — количество рядов в красном зале, а $m_к$ — количество мест в каждом ряду красного зала.

Основываясь на условиях задачи, составим систему уравнений:

1. Общее количество мест в красном зале: $r_к \cdot m_к = 320$.

2. Общее количество мест в синем зале: $r_с \cdot m_с = 360$.

3. В красном зале на 2 ряда больше, чем в синем: $r_к = r_с + 2$.

4. В каждом ряду красного зала на 4 места меньше, чем в синем: $m_к = m_с - 4$.

Теперь будем решать эту систему. Из второго уравнения выразим $m_с$ через $r_с$:

$m_с = \frac{360}{r_с}$

Подставим это выражение в четвертое уравнение, чтобы выразить $m_к$ через $r_с$:

$m_к = \frac{360}{r_с} - 4$

Теперь подставим выражения для $r_к$ (из третьего уравнения) и $m_к$ (полученное выше) в первое уравнение:

$(r_с + 2) \cdot (\frac{360}{r_с} - 4) = 320$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$r_с \cdot \frac{360}{r_с} - 4 \cdot r_с + 2 \cdot \frac{360}{r_с} - 2 \cdot 4 = 320$

$360 - 4r_с + \frac{720}{r_с} - 8 = 320$

Упростим уравнение:

$352 - 4r_с + \frac{720}{r_с} = 320$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$352 - 320 - 4r_с + \frac{720}{r_с} = 0$

$32 - 4r_с + \frac{720}{r_с} = 0$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все уравнение на $r_с$ (поскольку количество рядов не может быть равно нулю, $r_с \neq 0$):

$32r_с - 4r_с^2 + 720 = 0$

Для удобства решения разделим все члены на $-4$ и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$r_с^2 - 8r_с - 180 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 64 + 720 = 784$

Найдем корни уравнения, зная, что $\sqrt{784} = 28$:

$r_{с1} = \frac{-(-8) + 28}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 28}{2} = \frac{36}{2} = 18$

$r_{с2} = \frac{-(-8) - 28}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 28}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Количество рядов не может быть отрицательным числом, поэтому корень $r_с = -10$ не является решением задачи. Следовательно, количество рядов в синем зале равно 18.

Теперь найдем количество рядов в красном зале, используя третье уравнение:

$r_к = r_с + 2 = 18 + 2 = 20$

Таким образом, в синем зале 18 рядов, а в красном — 20 рядов.

Ответ: в красном зале 20 рядов, в синем зале 18 рядов.