Номер 7.13, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.13 В первом зрительном зале 350 мест, а во втором — 480. Во втором зале на 5 рядов меньше, чем в первом, но в каждом ряду на 10 мест больше, чем в каждом ряду первого зала. Сколько мест в ряду в каждом зале?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $s_1$ — количество мест в одном ряду первого зала, а $r_1$ — количество рядов в первом зале.
Тогда общее количество мест в первом зале можно выразить формулой: $r_1 \cdot s_1 = 350$.

Пусть $s_2$ — количество мест в одном ряду второго зала, а $r_2$ — количество рядов во втором зале.
Тогда общее количество мест во втором зале: $r_2 \cdot s_2 = 480$.

Из условия задачи нам известны соотношения между параметрами залов:

• Во втором зале на 5 рядов меньше, чем в первом: $r_2 = r_1 - 5$.
• В каждом ряду второго зала на 10 мест больше, чем в каждом ряду первого: $s_2 = s_1 + 10$.

Подставим эти соотношения в уравнение для второго зала:

$(r_1 - 5)(s_1 + 10) = 480$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $r_1$ и $s_1$:

$ \begin{cases} r_1 \cdot s_1 = 350 \\ (r_1 - 5)(s_1 + 10) = 480 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $r_1$ через $s_1$: $r_1 = \frac{350}{s_1}$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(\frac{350}{s_1} - 5)(s_1 + 10) = 480$

Теперь решим это уравнение относительно $s_1$. Раскроем скобки:

$\frac{350}{s_1} \cdot s_1 + \frac{350}{s_1} \cdot 10 - 5 \cdot s_1 - 5 \cdot 10 = 480$

$350 + \frac{3500}{s_1} - 5s_1 - 50 = 480$

Приведем подобные слагаемые:

$300 + \frac{3500}{s_1} - 5s_1 = 480$

$\frac{3500}{s_1} - 5s_1 = 480 - 300$

$\frac{3500}{s_1} - 5s_1 = 180$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $s_1$ (так как количество мест $s_1$ не может быть равно нулю):

$3500 - 5s_1^2 = 180s_1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5s_1^2 + 180s_1 - 3500 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 5:

$s_1^2 + 36s_1 - 700 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 36^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-700) = 1296 + 2800 = 4096$

$\sqrt{D} = \sqrt{4096} = 64$

Теперь найдем значения $s_1$:

$s_{1,1} = \frac{-36 + 64}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$s_{1,2} = \frac{-36 - 64}{2} = \frac{-100}{2} = -50$

Поскольку количество мест в ряду не может быть отрицательным, единственным верным решением является $s_1 = 14$.

Таким образом, в первом зале 14 мест в каждом ряду.

Теперь найдем количество мест в ряду второго зала, зная, что их на 10 больше:

$s_2 = s_1 + 10 = 14 + 10 = 24$

Во втором зале 24 места в каждом ряду.

Ответ: в первом зале 14 мест в ряду, а во втором — 24 места в ряду.