Номер 7.11, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.11 Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23 дм, а его гипотенуза равна 37 дм. Найдите периметр треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

Согласно условию задачи, имеем:

• Разность катетов: $a - b = 23$ дм.
• Гипотенуза: $c = 37$ дм.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + b + c$.

Для нахождения периметра нам нужно найти сумму катетов $a + b$. Воспользуемся теоремой Пифагора, которая для прямоугольного треугольника имеет вид: $a^2 + b^2 = c^2$

Подставим известное значение гипотенузы: $a^2 + b^2 = 37^2 = 1369$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} a - b = 23 \\ a^2 + b^2 = 1369 \end{cases} $

Возведем первое уравнение в квадрат: $(a - b)^2 = 23^2$ $a^2 - 2ab + b^2 = 529$

Мы знаем, что $a^2 + b^2 = 1369$. Подставим это значение в полученное уравнение: $1369 - 2ab = 529$

Отсюда найдем значение $2ab$: $2ab = 1369 - 529$ $2ab = 840$

Теперь рассмотрим формулу квадрата суммы катетов: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Мы можем переписать ее как $(a + b)^2 = (a^2 + b^2) + 2ab$. Подставим известные нам значения $a^2 + b^2 = 1369$ и $2ab = 840$: $(a + b)^2 = 1369 + 840$ $(a + b)^2 = 2209$

Найдем сумму катетов $a + b$, взяв квадратный корень из 2209. Так как $a$ и $b$ — это длины сторон, их сумма должна быть положительной. $a + b = \sqrt{2209} = 47$ дм.

Теперь мы можем вычислить периметр треугольника: $P = (a + b) + c = 47 + 37 = 84$ дм.

Ответ: 84 дм.