Номер 7.18, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.18 Расстояние между двумя пунктами по реке равно 14 км. Лодка проходит этот путь по течению за 2 ч, а против течения за 2 ч 48 мин. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Для решения задачи введем переменные. Пусть собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) равна $x$ км/ч, а скорость течения реки — $y$ км/ч.

Когда лодка движется по течению, ее скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения, то есть $v_{\text{по теч.}} = x + y$ км/ч.

Когда лодка движется против течения, ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения, то есть $v_{\text{против теч.}} = x - y$ км/ч.

По условию, расстояние $S$ между двумя пунктами равно 14 км.

Время движения по течению составляет $t_{\text{по теч.}} = 2$ ч.

Время движения против течения составляет $t_{\text{против теч.}} = 2$ ч 48 мин. Для удобства расчетов переведем это время полностью в часы. Зная, что в 1 часе 60 минут, получаем: $48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = \frac{4}{5} \text{ ч} = 0.8 \text{ ч}$. Таким образом, $t_{\text{против теч.}} = 2 + 0.8 = 2.8$ ч.

Используя формулу пути $S = v \cdot t$, составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

1. Уравнение для движения по течению:
$S = v_{\text{по теч.}} \cdot t_{\text{по теч.}}$
$14 = (x + y) \cdot 2$

2. Уравнение для движения против течения:
$S = v_{\text{против теч.}} \cdot t_{\text{против теч.}}$
$14 = (x - y) \cdot 2.8$

Получили систему уравнений: $ \begin{cases} 2(x + y) = 14 \\ 2.8(x - y) = 14 \end{cases} $

Упростим каждое уравнение. Из первого уравнения выразим скорость по течению: $x + y = \frac{14}{2}$
$x + y = 7$

Из второго уравнения выразим скорость против течения: $x - y = \frac{14}{2.8}$
$x - y = \frac{140}{28}$
$x - y = 5$

Теперь у нас есть более простая система: $ \begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 5 \end{cases} $

Для нахождения $x$ сложим два уравнения системы: $(x + y) + (x - y) = 7 + 5$
$2x = 12$
$x = \frac{12}{2}$
$x = 6$

Таким образом, собственная скорость лодки составляет 6 км/ч.

Для нахождения $y$, подставим значение $x = 6$ в первое уравнение ($x + y = 7$): $6 + y = 7$
$y = 7 - 6$
$y = 1$

Таким образом, скорость течения реки составляет 1 км/ч.

Проверка:
Скорость лодки по течению: $6 + 1 = 7$ км/ч. Время в пути: $\frac{14 \text{ км}}{7 \text{ км/ч}} = 2$ ч. (Совпадает с условием).
Скорость лодки против течения: $6 - 1 = 5$ км/ч. Время в пути: $\frac{14 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 2.8$ ч, что равно 2 часам и $0.8 \cdot 60 = 48$ минутам. (Совпадает с условием).

Ответ: собственная скорость лодки — 6 км/ч, скорость течения реки — 1 км/ч.