Номер 7.25, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.25 Аквариум объёмом $54 \text{ м}^3$ заполняется при помощи двух кранов. При этом первый кран работает 3 ч, а второй — 2 ч. Какова пропускная способность первого крана, если $1 \text{ м}^3$ он заполняет на 1 мин медленнее, чем второй?

Для решения задачи введем переменные. Пусть пропускная способность первого крана равна $x$ м³/ч, а пропускная способность второго крана — $y$ м³/ч.

Первый кран работает 3 часа и за это время наполняет объём, равный $3x$ м³. Второй кран работает 2 часа и наполняет объём $2y$ м³. Вместе они заполняют аквариум объёмом 54 м³. Это позволяет нам составить первое уравнение:

$3x + 2y = 54$

Далее, рассмотрим второе условие. Время, необходимое первому крану для заполнения 1 м³, составляет $\frac{1}{x}$ часа. Для второго крана это время составляет $\frac{1}{y}$ часа. По условию, первый кран заполняет 1 м³ на 1 минуту медленнее, чем второй. Переведем 1 минуту в часы: $1 \text{ мин} = \frac{1}{60} \text{ ч}$. Так как первый кран медленнее, времени ему требуется больше. Составим второе уравнение:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{y} + \frac{1}{60}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases}3x + 2y = 54 \\\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{60}\end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения. Сначала найдем $\frac{1}{y}$:

$\frac{1}{y} = \frac{1}{x} - \frac{1}{60} = \frac{60 - x}{60x}$

Отсюда получаем выражение для $y$:

$y = \frac{60x}{60 - x}$

Так как пропускная способность $y$ должна быть положительной, знаменатель $60 - x$ также должен быть положительным (поскольку $x > 0$), что дает нам условие $x < 60$.

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$3x + 2\left(\frac{60x}{60 - x}\right) = 54$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$x + \frac{40x}{60 - x} = 18$

Умножим обе части уравнения на $(60 - x)$, чтобы избавиться от дроби:

$x(60 - x) + 40x = 18(60 - x)$

$60x - x^2 + 40x = 1080 - 18x$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$100x - x^2 = 1080 - 18x$

$x^2 - 118x + 1080 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-118)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1080 = 13924 - 4320 = 9604$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{9604} = 98$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{118 + 98}{2} = \frac{216}{2} = 108$

$x_2 = \frac{118 - 98}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Мы получили два возможных значения для пропускной способности первого крана. Однако ранее мы установили ограничение $x < 60$. Корень $x_1 = 108$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, он является посторонним.Единственное решение, которое нам подходит, — это $x_2 = 10$.

Таким образом, пропускная способность первого крана составляет 10 м³/ч.

Ответ: 10 м³/ч.