Номер 7.32, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.32 Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 7 и в остатке 6. Если это же двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке число, равное сумме цифр исходного числа. Найдите исходное число.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. При этом $a$ может быть любым целым числом от 1 до 9, а $b$ — от 0 до 9.

Сумма цифр этого числа равна $a + b$, а их произведение — $a \cdot b$.

Исходя из первого условия задачи, если разделить число на сумму его цифр, то в частном получится 7, а в остатке 6. Математически это выражается так:

$10a + b = 7 \cdot (a + b) + 6$

Раскроем скобки и упростим это выражение:

$10a + b = 7a + 7b + 6$
$10a - 7a = 7b - b + 6$
$3a = 6b + 6$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a = 2b + 2$

Из второго условия, если это же число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке — число, равное сумме цифр. Запишем это в виде второго уравнения:

$10a + b = 3 \cdot (a \cdot b) + (a + b)$

Упростим это уравнение, вычитая $a + b$ из обеих частей:

$10a + b - (a+b) = 3ab$
$9a = 3ab$

Поскольку $a$ является цифрой десятков двузначного числа, она не может быть равна нулю ($a \neq 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $3a$:

$\frac{9a}{3a} = \frac{3ab}{3a}$
$3 = b$

Теперь мы знаем значение цифры единиц $b = 3$. Подставим это значение в первое уравнение, которое мы вывели ($a = 2b + 2$):

$a = 2 \cdot 3 + 2$
$a = 6 + 2$
$a = 8$

Таким образом, мы нашли обе цифры: $a = 8$ (десятки) и $b = 3$ (единицы). Искомое число — 83.

Выполним проверку:

1. Деление на сумму цифр ($8+3=11$):
$83 \div 11 = 7$ (остаток $83 - 7 \cdot 11 = 6$). Условие выполнено.

2. Деление на произведение цифр ($8 \cdot 3=24$):
$83 \div 24 = 3$ (остаток $83 - 3 \cdot 24 = 11$). Остаток (11) равен сумме цифр (11). Условие выполнено.

Ответ: 83