Номер 7.33, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.33 На участке одноколейной железной дороги длиной 10 км надо уложить рельсы (две полосы). Для укладки имеются рельсы длиной 25 м и 12,5 м. Если уложить все рельсы длиной 25 м, то надо будет израсходовать половину имеющегося количества рельсов длиной 12,5 м. Если же уложить все имеющиеся рельсы длиной 12,5 м, то рельсов длиной 25 м надо уложить $\frac{2}{3}$ их количества.

Определите общее количество имеющихся рельсов.

1. Определение общей длины рельсов
Длина участка одноколейной железной дороги составляет 10 км. Так как рельсы укладываются в две полосы (по одной с каждой стороны колеи), общая длина рельсового полотна, которое необходимо уложить, в два раза больше длины участка.
Общая длина = $10 \text{ км} \times 2 = 20 \text{ км}$.
Поскольку длина рельсов указана в метрах, переведем общую длину в метры:
$20 \text{ км} = 20 \times 1000 \text{ м} = 20000 \text{ м}$.

2. Составление системы уравнений
Введем переменные для обозначения количества рельсов каждого типа:

• Пусть $x$ — это общее количество имеющихся рельсов длиной 25 м.
• Пусть $y$ — это общее количество имеющихся рельсов длиной 12,5 м.

На основе условий задачи составим два уравнения.

Условие 1: Если уложить все рельсы длиной 25 м (их количество $x$), то надо будет израсходовать половину имеющегося количества рельсов длиной 12,5 м (то есть $\frac{1}{2}y$). Суммарная длина этих рельсов должна покрыть 20000 м.
Уравнение 1: $25 \cdot x + 12.5 \cdot \frac{y}{2} = 20000$

Условие 2: Если уложить все имеющиеся рельсы длиной 12,5 м (их количество $y$), то рельсов длиной 25 м надо уложить $\frac{2}{3}$ их количества (то есть $\frac{2}{3}x$). Суммарная длина также составит 20000 м.
Уравнение 2: $12.5 \cdot y + 25 \cdot \frac{2}{3}x = 20000$

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} 25x + 6.25y = 20000 \\ \frac{50}{3}x + 12.5y = 20000 \end{cases}$

3. Решение системы уравнений
Для удобства решения умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ в обоих уравнениях стали одинаковыми.
$2 \cdot (25x + 6.25y) = 2 \cdot 20000$
$50x + 12.5y = 40000$

Теперь система выглядит так: $\begin{cases} 50x + 12.5y = 40000 \\ \frac{50}{3}x + 12.5y = 20000 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:
$(50x + 12.5y) - (\frac{50}{3}x + 12.5y) = 40000 - 20000$
$50x - \frac{50}{3}x = 20000$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{150x - 50x}{3} = 20000$
$\frac{100x}{3} = 20000$
$100x = 20000 \cdot 3$
$100x = 60000$
$x = \frac{60000}{100} = 600$
Итак, количество рельсов длиной 25 м равно 600.

Теперь подставим значение $x=600$ во второе исходное уравнение, чтобы найти $y$:
$\frac{50}{3}(600) + 12.5y = 20000$
$50 \cdot 200 + 12.5y = 20000$
$10000 + 12.5y = 20000$
$12.5y = 20000 - 10000$
$12.5y = 10000$
$y = \frac{10000}{12.5} = 800$
Количество рельсов длиной 12,5 м равно 800.

4. Определение общего количества рельсов
Чтобы найти общее количество имеющихся рельсов, сложим количество рельсов каждого типа:
Общее количество = $x + y = 600 + 800 = 1400$.

Ответ: 1400.