Номер 7.39, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.39 Два поезда отправляются из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу. Если поезд из $A$ выйдет на 2 ч раньше, чем поезд из $B$, то встреча произойдёт на середине пути. Если поезда выйдут одновременно, то они встретятся через 3 ч 45 мин. Найдите скорость поездов и расстояние между $A$ и $B$, если известно, что скорость одного поезда на 40 км/ч больше скорости другого.

Для решения задачи введем следующие переменные:
$S$ — расстояние между пунктами А и В (в км);
$v_A$ — скорость поезда, отправляющегося из пункта А (в км/ч);
$v_B$ — скорость поезда, отправляющегося из пункта В (в км/ч).

1. Анализ первого условия

Согласно первому условию, "если поезд из А выйдет на 2 ч раньше, чем поезд из В, то встреча произойдёт на середине пути". Это значит, что каждый поезд проедет расстояние, равное $S/2$.

Пусть $t_B$ — время движения поезда из пункта В до встречи. Тогда время движения поезда из пункта А составит $t_A = t_B + 2$ часа.

Составим уравнения пути для каждого поезда:
$S/2 = v_A \cdot t_A = v_A \cdot (t_B + 2)$
$S/2 = v_B \cdot t_B$

Поскольку левые части уравнений равны, приравняем и правые: $v_A \cdot (t_B + 2) = v_B \cdot t_B$
$v_A \cdot t_B + 2v_A = v_B \cdot t_B$
$2v_A = v_B \cdot t_B - v_A \cdot t_B$
$2v_A = (v_B - v_A) \cdot t_B$

Так как время $t_B$ и скорость $v_A$ — величины положительные, то и разность $(v_B - v_A)$ должна быть положительной. Отсюда следует, что $v_B > v_A$. Это означает, что поезд, выехавший из пункта В, имеет большую скорость.

Теперь мы можем использовать условие о разнице скоростей: "скорость одного поезда на 40 км/ч больше скорости другого". Так как $v_B > v_A$, то $v_B = v_A + 40$.

2. Анализ второго условия

Согласно второму условию, "если поезда выйдут одновременно, то они встретятся через 3 ч 45 мин".

Переведем время встречи в часы: $3 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 3 + \frac{45}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{3}{4} \text{ ч} = 3.75$ часа.

При одновременном движении навстречу друг другу общее расстояние равно произведению суммы их скоростей (скорости сближения) на время в пути:
$S = (v_A + v_B) \cdot 3.75$

3. Составление и решение системы уравнений

У нас есть система зависимостей. Вернемся к уравнению из первого пункта: $2v_A = (v_B - v_A) \cdot t_B$. Время $t_B$ можно выразить из формулы пути поезда В: $t_B = \frac{S/2}{v_B} = \frac{S}{2v_B}$.

Подставим это выражение для $t_B$:
$2v_A = (v_B - v_A) \cdot \frac{S}{2v_B}$
$4v_A v_B = S \cdot (v_B - v_A)$

Теперь мы имеем систему из двух основных уравнений с переменными $S, v_A, v_B$ и одного уравнения связи:
1) $4v_A v_B = S(v_B - v_A)$
2) $S = (v_A + v_B) \cdot 3.75$
3) $v_B = v_A + 40$

Подставим выражение для $v_B$ из (3) в (1) и (2):
В (1): $4v_A(v_A + 40) = S((v_A + 40) - v_A) \implies 4v_A(v_A + 40) = 40S \implies v_A(v_A + 40) = 10S$.
В (2): $S = (v_A + v_A + 40) \cdot 3.75 \implies S = (2v_A + 40) \cdot 3.75 \implies S = 7.5(v_A + 20)$.

Теперь подставим выражение для $S$ из второго преобразованного уравнения в первое:
$v_A(v_A + 40) = 10 \cdot [7.5(v_A + 20)]$
$v_A(v_A + 40) = 75(v_A + 20)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $v_A$:
$v_A^2 + 40v_A = 75v_A + 1500$
$v_A^2 - 35v_A - 1500 = 0$

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1500) = 1225 + 6000 = 7225$
$\sqrt{D} = \sqrt{7225} = 85$

Находим возможные значения для $v_A$:
$v_{A1} = \frac{35 + 85}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$v_{A2} = \frac{35 - 85}{2} = \frac{-50}{2} = -25$

Так как скорость не может быть отрицательной, единственное подходящее решение: $v_A = 60$ км/ч.

4. Нахождение искомых величин

Зная скорость поезда из А, находим скорость поезда из В:
$v_B = v_A + 40 = 60 + 40 = 100$ км/ч.

Теперь вычисляем расстояние $S$ между пунктами А и В:
$S = 7.5(v_A + 20) = 7.5(60 + 20) = 7.5 \cdot 80 = 600$ км.

Ответ: Скорость поезда, отправляющегося из пункта А, равна 60 км/ч; скорость поезда, отправляющегося из пункта В, равна 100 км/ч; расстояние между пунктами А и В составляет 600 км.