Номер 7.45, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.45 Мастер, работая с учеником, обрабатывает деталь за 2 ч 24 мин. Если мастер будет работать 2 ч, а ученик — 1 ч, то будет выполнено $ \frac{2}{3} $ всей работы. Сколько времени потребуется мастеру и ученику в отдельности на обработку детали?

Примем всю работу по обработке детали за 1.

Пусть $x$ — производительность мастера (часть работы в час), а $y$ — производительность ученика (часть работы в час). Тогда время, необходимое мастеру для выполнения всей работы в одиночку, составит $T_{мастер} = \frac{1}{x}$ часов, а ученику — $T_{ученик} = \frac{1}{y}$ часов.

Составление системы уравнений

Из первого условия известно, что мастер и ученик, работая вместе, выполняют всю работу за 2 ч 24 мин. Переведем это время в часы:

$2 \text{ ч } 24 \text{ мин} = 2 + \frac{24}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{2}{5} \text{ ч} = \frac{12}{5} \text{ ч}$.

Их совместная производительность равна $x + y$. Так как работа равна произведению производительности на время ($A = P \cdot t$), получаем первое уравнение:

$(x + y) \cdot \frac{12}{5} = 1$, откуда следует $x + y = \frac{5}{12}$.

Из второго условия известно, что за 2 часа работы мастера и 1 час работы ученика выполняется $\frac{2}{3}$ всей работы. Составляем второе уравнение:

$2x + y = \frac{2}{3}$.

Получаем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = \frac{5}{12} \\ 2x + y = \frac{2}{3} \end{cases}$

Решение системы уравнений

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:

$(2x + y) - (x + y) = \frac{2}{3} - \frac{5}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$x = \frac{8}{12} - \frac{5}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

Таким образом, производительность мастера составляет $x = \frac{1}{4}$ работы в час.

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти производительность ученика $y$:

$\frac{1}{4} + y = \frac{5}{12}$

$y = \frac{5}{12} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Производительность ученика составляет $y = \frac{1}{6}$ работы в час.

Нахождение времени выполнения работы по отдельности

Время, за которое мастер выполнит всю работу один, равно:

$T_{мастер} = \frac{1}{x} = \frac{1}{1/4} = 4$ часа.

Время, за которое ученик выполнит всю работу один, равно:

$T_{ученик} = \frac{1}{y} = \frac{1}{1/6} = 6$ часов.

Ответ: мастеру на обработку детали потребуется 4 часа, а ученику — 6 часов.